带旋转流的趋化－流体模型研究

Chemotaxis models have a strong biological background. The study of biological chemotaxis-fluid coupled models is a frontier research in the field of biomathematics and partial differential equations, and it is important in both theoretical and practical aspects. . This project is devoted to the study of several chemotaxis-fluid coupled models with rotational flux. Precisely speaking, we will investigate several chemotaxis-Navier-Stokes systems with matrix-valued chemotactic sensitivities in 2D or 3D bounded domain. We shall consider the global existence, boundedness and the large time behavior of solutions. Our models not only including those with chemical substance consumption but also those with chemical substance production. Passing from scalar sensitivities to matrix-valued one will result in essential difficulties, and thus the study of such models, even in the absence of fluid coupling, is very rare. We will establish some new results by exploring new ideas and new approaches to overcome difficulties on the basis of previous researches.

趋化模型具有很强的生物学背景。生物趋化－流体模型的研究是生物数学、偏微分方程前沿研究领域的热点问题，对于这类模型的研究具有重要的理论和实际意义。. 本项目拟对几类带旋转流的趋化－流体耦合模型的数学理论进行深入研究。具体说来，我们将研究几类趋化灵敏度为矩阵函数的chemotaxis-Navier-Stokes方程组在二维或三维空间中解的性质，包括解的整体存在性、有界性及大时间行为等。我们研究的模型不仅包括带化学物质消耗项的模型，也包括带化学物质产生项的模型。从标量值灵敏度函数到矩阵值灵敏度函数的转化在数学上会给研究带来本质的困难，因而对这类模型的研究即使在没有流体耦合的情况下，研究都才刚刚起步。我们将在前人研究的基础上探寻新的思路、新的方法克服困难，作出新的结果。

趋化模型具有很强的生物学背景。趋化流体耦合模型的研究是生物数学、偏微分方程前沿研究领域的热点问题，具有重要的理论和实际意义。本项目对几类带旋转流的趋化流体耦合方程组初边值问题的整体适定性及几类趋化流体耦合方程组的极限问题进行了研究。主要研究结果如下：.(1) 建立了趋化灵敏度为矩阵值函数的Keller-Segel-Stokes方程组解的有界性;.(2) 建立了趋化灵敏度为矩阵值函数的Keller-Segel-Navier-Stokes方程组解的整体存在性;.(3) 系统研究了两类具有耗氧机制的趋化流体方程组解的整体存在性、有界性和大时间渐近行为；.(4) 建立了chemotaxis-Navier-Stokes方程组的解到相应chemotaxis-Stokes方程组解的一致收敛性；.(5) 建立了抛物-抛物趋化流体方程组的解到相应抛物-椭圆趋化流体方程组解的一致收敛性。.基于这些研究成果，项目负责人已在 Ann. Sc. Norm. Super. Pisa Cl. Sci.、Math Z.、M3AS、JDE、DCDS-A、DCDS-B等期刊发表相关学术论文10篇（另投稿3篇）。 这些研究一方面进一步完善了趋化流体耦合方程组整体适定性的研究结果，另一方面在趋化流体耦合模型极限问题的研究中进行了新的尝试; 在当前偏微分方程研究中具有重要意义，相关的研究成果得到了国内外同行的高度评价和广泛引用。