广义分数阶微分方程的高效数值方法研究

Fractional calculus has been extensively and successfully applied to many fields of mathematical physics and engineering problems. The theory and high effective numerical approaches of generalized fractional differential equations become very important research directions in fractional calculus in the recent years. The current project is mainly devoted to investigating the high effective numerical methods of generalized fractional differential equations, including studying the solvability of generalized fractional differential equations by using various fixed point theorems; and based on the conventional Ritz-Galerkin technique, constructing finite element method associating with fractional energy functional for solving generalized fractional differential equations with symmetric structure; and applying related tools from linear algebra to study the distribution of eigenvalue and norm bound of the inverse matrix of the coefficient matrix in the corresponding difference equation; and employing useful conclusions of numerical analysis and approximation theory to analyze the stability, convergence and error of the designed numerical methods in this proposal; and redefining fractional derivatives on non-rectangular domain, then studying the numerical solutions and their properties of generalized fractional differential equations on the general convex domain. The project aims to promote the study of generalized fractional differential equations, and design more effective and precise algorithms and theory for solving generalized fractional differential equations. This project will enrich the existing research methods and research tools, and provide abundant conclusions and research topics in the related fields of fractional calculus theory, numerical algebra and approximation theory.

分数阶微积分在数学物理和工程问题中获得了广泛的应用。广义分数阶微分方程的理论基础和高效数值方法是近几年分数阶微积分研究中的重要方向。本项目主要研究广义分数阶微分方程的高效数值方法，内容包括：运用不动点定理研究广义分数阶微分方程的可解性；基于有限差分法和插值、外推技术设计高精度有限差分格式；利用Ritz-Galerkin方法构造有限元方法求解具有对称结构的广义分数阶微分方程；运用线性代数的相关工具，研究离散化后的差分方程中系数矩阵的特征值分布和逆矩阵范数的上界；基于数值分析和逼近理论分析算法的稳定性、收敛性和误差；推广分数阶导数定义，研究非矩形区域上的广义分数阶微分方程数值解及特征。本项目旨在促进广义分数阶微分方程的研究，为高效精确地求解方程设计更好的算法和理论。本项目的开展将会极大地丰富已有的研究手段和研究方法，并对分数阶微积分理论、数值代数、逼近论等领域发展提供丰富的结果和研究课题。

分数阶微积分和非局部算子在数学物理和工程问题中获得了广泛的应用，推广经典微积分理论和研究广义分数阶微分方程是近年来的热点。本项目研究了几类广义分数阶微分方程解的存在唯一性、高效数值解法，以及在燃烧爆炸过程中的应用。主要内容包括：广义分数阶古典变分问题的可解性；基于有限差分法和插值技术构造时间分数阶燃烧模型的高精度格式；利用Ritz-Galerkin方法求解具有对称结构的广义分数阶微分方程；阶数较低的分数阶燃烧爆炸模型的有限差分和间断Galerkin混合算法；空间分数阶燃烧模型的高精度数值模拟；基于数值分析和逼近理论分析算法的稳定性、收敛性和误差等。主要结果包括：建立了带Hilfer导数的变分问题满足的Euler方程，给出了极值存在的必要条件和数值方法；建立了几类不同温度场约束下的燃烧爆炸数学模型，利用不同的有限差分格式和间断Galerkin混合算法进行了数值模拟，获得了模型淬火和爆炸时刻以及位置的数值估计；研究了一维和二维分数阶反应扩散方程，设计了高效的混合数值计算方法。研究发现，燃烧爆炸过程的淬火解和爆破解敏感依赖于系统的初始条件，空间区域的形状和大小，分数阶导数的阶数。本项目的实施和完成，丰富了分数阶微积分建模与应用领域，对多种具体形式的分数阶偏微分方程、燃烧爆炸过程的分数阶微分方程模型、分数阶微分方程解的局部存在性和全局存在性、奇异和退化分数阶微分方程的高精度数值模拟等提供了几种具体的方法和结果。同时，具有非局部项的分数阶微分方程模型有望为继续研究燃烧爆炸过程的复杂物理和化学变化，以及热传导过程提供更细致精确的数学分析和数值模拟结果。