自守形式与素数分布

素数分布理论历来都是数论的核心课题之一，自守形式是当代数论另一个核心课题。本项目的研究内容有两个：自守形式和素数分布。具体地说，本项目首先研究自守形式，特别注意研究自守L-函数的零点分布以及阶的平均增长。其次，本项目把自守形式的研究成果用于素数分布，解决Sarnak猜想的一些重要特例，例如研究一般的Diophantus方程的素数解。一般的Diophantus方程，可能含有交叉项。

素数分布理论是经典解析数论研究的中心问题，自守L-函数理论则是当代数论研究的中心问题。本项目旨在研究自守L-函数理论并利用自守L-函数理论探讨素数分布的各种性质。在执行过程中，我们重点研究了自守L-函数理论，包括由中心值决定自守L-函数的形式等判定定理，自守L-函数导数的性质，自守L-函数的傅立叶系数的振荡性质等，均得到了新的突破性的结果。关于自守L-函数的傅立叶系数的探讨，我们着重研究了傅立叶系数挠乘指数函数形成的指数和估计。在SL(2,Z）的情形，当指数函数的次数在区间（0,1]取值时，所得结果刻画了傅立叶系数a（n）的平均增长并得到系数a（n）与指数函数的共振性质, 这些结果都是非常深刻的；对于二次指数和估计，我们所得到的结果大大地改进了Pitt等的已有结果。在SL(3,Z）的情形，我们首先研究了自守L-函数的Voronoi求和公式，证明了更精确的渐近估计。以此为工具，我们进一步探讨了与自守L-函数的Fourier系数A（m，n）有关的指数和估计，给出了一系列新的结果，这些结果推广了Miller以及Booker等人在这方面的工作，并从不同侧面揭示了A（m，n）的深刻性质，其中包括傅里叶系数的速降性质以及共振性质等。除此之外，本项目还研究了某些代数数域上 L-函数的性质，得到了新的结果。