平面多项式微分方程的极限环和周期函数的单调性

平面多项式微分方程理论在人类社会和自然科学中有着十分广泛的应用。本项目拟研究平面多项式微分动力系统中两个与希尔伯特第十六问题相关的课题：极限环分支和周期函数的单调性，这两个问题 均与阿贝尔积分理论有密切关系。首先，Iliev等人把具有亏格1中心的平面二次系统进行了分类，并对它们的环性进行猜测。我们拟研究其中至少一类目前尚未解决的系统的环性，同时研究分支出来的极限环的分布；特别是对于其中的余维4系统，将尝试建立不同于Iliev文中的辅助微分方程，并借助它来改进已有文献中关于余维4的环性的结果；其次，拟探讨Chicone猜想及其弱问题：具有中心的二次系统的周期单调性问题。我们将研究一类Lotka-Volterra系统或者一类二次可逆系统的周期函数的单调性。

我们研究了一类具有单个参数的平面二次多项式微分动力系统的极限环分支。在2009年的一篇文章中，Iliev等人把具有亏格1中心的平面二次系统分成18类，并对它们的环性进行猜测。目前该18类系统中绝大部分均已经获得完整的结果，只有对(r4)和(r6)系统的研究还比较缺乏。我们在本项目中研究了(r4)系统的具有三种不同拓扑结构的环性。这些结果和李承治等人发表在DCDS的结果一起，完成了对(r4)系统的环性的研究。项目获得的结果发别发表在《Journal of Mathematical Analysis and Applications》(研究了（r4）系统具有一个中心、一个鞍点的情形)、《Science China Mathematics》(研究了（r4）系统具有一个中心、一个鞍点、两个结点的情形)、《International Journal of Bifurcation and Chaos》(研究了（r4）系统具有一个中心、一个退化奇点的情形)。在这三篇文章中，我们均证明了系统的周期环域的环性是2，这个结果与Iliev等人的猜测是一致的。