具幂零奇点的平面多项式系统的极限环分支研究

The second part of Hilbert's 16th problem is concerned with the number of limit cycles of planar polynomial differential equations which is very challenging. Even for quadratic system, the problem of the number of limit cycles has not been solved.The method of solving this problem has inspired significant progress not only in normal forms and bifurcationin theory, but also in geometric theory and algebraic geometry. Most of researchers thought about the bifurcation of limit cycles of near Hamiltonian system with an elementary point. But in our subject we study the bifurcation of limit cycle near a nilpotent critical point. Based on different methods and a symbolic computation language Maple, we consider the following three problems: (1)The center-focus problem. By using a new definition of the focal values under the generalized triangle polar coordinates and inverse integral factors , we calculate the Lyapunov constants and give the sufficient and necessary conditions for center. (2)Limit cycles and computation of Abel integral. We apply the bifurcation theory and analysis to higher degenerate systems with a nilpotent point, then obtain an expansion for Abel integral near the nilpotent together with a computing method for the first coefficients. Using these coefficients, we can obtain a new bifurcation theorem concerning the limit cycle bifurcation near the nilpotent point. (3)Higher-order Melnikov function. From the polynomial 1-form and relative cohomology decomposition of 1-form, we estimate the upper for the number of zeros of higher-Melnikov function.

Hilbert第16问题的第二部分关于平面多项式系统的极限环个数的研究具有极大的挑战性，即使对二次系统也没有得到完全解决。其方法也在不断地深入，不仅有常见的规范型及分支理论方法，还涉及到几何理论及代数几何。在大部分研究成果中，一般考虑Hopf分支时都假设奇点是初等的。而本项目研究具有幂零奇点的系统，并用不同的方法估计小振幅极限环个数，结合数学软件Maple编程计算，主要研究以下几个方面的课题：（1）中心焦点问题。利用焦点量新的定义及可逆积分因子计算幂零奇点处的Lyapunov常数，给出幂零奇点是否为中心的判别条件。（2）Abel积分与极限环。利用分支理论及分析技巧研究退化较高的平面系统在幂零奇点处的Abel积分的性质及其展开式，并编程计算前几项系数，建立与系数相关的分支定理。（3）高阶Melnikov函数。 利用多项式1-形式及上同调分解理论研究高阶Melnikov的特性及零点个数的上界。

本项目围绕计划书中的研究内容和目标，在幂零微分系统的极限环分支理论及应用方面开展了一些研究工作，完成了计划书中的研究任务，在幂零奇点判定、Abel积分零点个数估计与计算、高阶Melnikov函数性态及生物系统的数学建模与理论分析等方面获得了一些有意义的研究成果，这些成果以学术论文形式发表在国际重要学术期刊，其中正式发表6篇，尚有3篇正在审稿中。主要结果如下：（1）得到幂零微分系统存在中心的充分条件，完整地给出了余维2幂零平衡点的通有开折，得到各类局部分支的存在性和相关拓扑相图；详细分析了两种不同类型的时滞诱发的BT分支，得到了两种不同类型的时滞诱发的Bogdanov–Takens分支的规范型的计算公式以及分支点附近的动力学分类，发现了时滞诱发的同宿与异宿轨道，及双同宿轨道；（2）利用Maple计算幂零奇点附近的Abel积分展开式一般形式及系数的计算公式，利用这些系数给出了获得极限环的方法，以此得到时滞微分方程在中心流形上的规范型的几种高余维分支类型及其特性；（3）利用通常同宿分支的Melnikov函数计算方法发现同宿轨道，并研究了高阶Melnikov的零点个数的估计；（4）改进具有医学传染病的背景下具有CTL免疫反应的5维HIV-1传染病模型， 研究了该模型在基本再生数变化时无病毒平衡点、感染无免疫平衡点的全局渐进稳定性及感染免疫平衡点的局部渐进稳定性及Hopf分支，并发现两个Hopf分支点。