非线性发展方程的频率一致分解方法

In the past twenty years, some important problems for the nonlinear evolution equations, especially for the nonlinear dispersive equations were solved by using the harmonic analysis method, which is now one of the main tools in studying nonlinear partial differential equations. This project is devoted to considering the Cauchy problem for the nonlinear Schrodinger and some other important nonlinear evolution equations. More precisely, we will study the following problems: (1) The global well-posedness for the defocusing energy-supercritical nonlinear Schrodinger equation, (2) The critical index for the well-posedness of the derivative nonlinear Schrodinger equation, (3) The well/ill posedness for the other important evolution equations. In order to solve those problems, only the PDE techniques are not enough, some deep harmonic analysis tools seem necessary: (4) Construct new function spaces adapting to the dispersive structure; (5) More precise frequency/physical localizations should be introduced if the dispersion is very weak, (6) Sometimes we need the frequency/physical localized version of the energy estimates.

过去的二十多年, 非线性发展方程的研究在调和分析理论的推动下取得了比较大的发展, 成为非线性发展方程的主要研究方法之一. 申请人2006年开发了频率一致分解方法研究PDE. 本项目继续使用频率分解方法, 结合其他调和分析工具研究一类重要的非线性发展方程. 本课题将研究: (1) 散焦意义下能量超临界的Schrodinger方程的一类大初值下的整体适定性, (2) 导数型非线性Schrodinger方程的适定性的临界指标, (3) 其他重要非线性发展方程适定性和不适定理论. 解决这些问题除需要偏微方程的方法, 更需要深入的调和分析工具做出下面的事情: (4) 构造新的函数空间以更适应方程的色散/耗散结构, (5) 在色散/耗散效应差的地方开发方程的结构, 这需要更精准的频率局部化技术, (6) 方程的守恒量/先验估计很多时候整体估计不够用, 需要频率/物理空间局部化技术.

申请人2006年开发了频率一致分解方法研究PDE. 本项目继续使用频率分解方法, 结合其他调和分析工具研究一类重要的非线性发展方程. 本课题继续这一领域的研究，得到下面的结果: 1）引入伸缩极限模空间的概念。2）进一步我们引入了极限模空间的共轭空间。3）在伸缩极限模空间上研究了非线性Schrodinger方程。4）研究了Navier-Stokes方程的blowup判据。5）研究了Navier-Stokes方程的奇异初值，用新方法得到了一类大的奇异初值的适定性。1）2）5）的结果属于申请人和合作者的原创性研究。