非均匀反应扩散系统中的波斑图选择

在远离平衡态的各种物理、化学、生物系统中，广泛地存在各类波斑图。靶波和螺旋波是其中最为常见且具有重要科学意义的两类波斑图。心脏功能是否能正常"运转"与这两类波斑图有着重要的联系。靶波往往是和心肌组织中心电信号的正常传播紧密相连，而螺旋波及螺旋波湍流则与心律不齐密切相关。对这两类波斑图的性质以及外场作用下波的传播规律及波斑图选择的研究一直是非线性动力学中的一个热门课题，也是斑图动力学中的一个基本的问题。本项目着重研究反应扩散系统中，系统的"不均匀性"或"缺陷"对波斑图地选择。主要包括下面几部分：（1）研究局部缺陷对靶波传播方向的选择作用（向里还是向外）；研究在各种相速度下波斑图的竞争规则；（2）大尺寸缺陷作用下螺旋波的动力学行为，特别是寻找一些新的、有意义的现象。例如，在数值中如何实现可激发系统中向里传的螺旋波；如何实现振荡系统中圆缺陷作用下，缺陷内外波数一致且群速度向里的"汇螺旋波"。

本项目主要按照项目申请书的研究计划要点执行，采取数值和解析相结合的方法，研究非均匀反应扩散系统中波斑图的选择。总的来说，项目执行情况良好，已完成申请书上的既定内容和目标。具体而言，课题组主要研究了以下三方面内容：（1）复Ginzburg-Landau方程中缺陷对靶波传播方向的选择作用以及具有不同相速度波之间的竞争规则。对于前者，我们发现了两个非常新颖而有趣的现象：（a）在一定条件下，即使缺陷处的局部频率高于（低于）整个系统均匀振荡的频率，该缺陷也可以产生反靶波（靶波）；（b）在保持其他参数不变的情况下，可以仅仅通过改变缺陷尺寸大小来实现反靶波和靶波之间的转变。对于后者，即波的竞争规则方面，我们从理论上得到了不同相速度波之间的竞争规则，所得的理论结果和数值模拟有很好的吻合。（2）复Ginzburg-Landau方程中大尺寸圆缺陷下波斑图选择。在圆缺陷内部本身存在的螺旋波端点（即拓扑缺陷）的情况下，圆边界会选择一种特殊的螺旋波。尽管圆缺陷内外区域的参数截然不同，但是圆边界所选择的螺旋波在圆缺陷内外的波数及频率完全一样。换句话说，圆边界对于该螺旋波的传播是“透明”的。进一步研究还表明，该螺旋波的群速度都是远离圆边界的。这说明，圆缺陷的边界（而不是先前存在的拓扑缺陷）扮演着波源的角色。（3）大尺寸缺陷下可激发系统中向里传螺旋波研究。通过设计了一个圆形介质外套一个狭窄的圆环介质，借助计算机模拟，我们证实了非均匀可激发系统中存在向里传的螺旋波。此外，我们从色散关系的角度对这种螺旋波的形成条件做了详细的分析。. 在项目的执行过程中，我们还做了适当的拓展。具体而言，我们还做了以下两方面工作。第一，研究了一类与环境耦合的混沌振子的集体行为。除了具有与周期振子一样的通向同步的两条道路，我们还发现了很多在周期振子中没有观察到的新现象，比如个体临界密度对耦合强调非单调的依赖关系；随着个体密度的改变，系统将经历混沌和周期行为之间的转变等。第二，研究了Ginzburg-Landau方程中零流缺陷对螺旋波动力学的影响。我们发现：（a）当缺陷的半径超过某一临界值时，缺陷可以诱导螺旋波相速度的反转以及（b）缺陷可以抑制螺旋波向螺旋波湍流态的转变。