抽象空间中若干非线性发展方程的性态分析

"Nonlinear evolution equations in abstract spaces" is a very important branch of contemporary analysis. At present. related study is very active and of particular concern. In this project, we will study deeply the following significant problems in the branch: wellposedness of the dynamic boundary value problem for time-dependent nonlinear differential equations with nonlocal and nonlinear purterbation terms; wellposedness of the Cauchy problem for coupled nonlinear evolution eqations in Hilbert spaces; exponentional and polynomial decay of second order nonlinear coupled systems with memory in Hilbert spaces when the related energy is not decreasing; t^(-1) decay of nonlinear coupled systems with different main operators; exact controllability of nonlinear memory-type evolution equations with time-dependent operator-valued memory kernel; convergence to equilibrium state for evolution equations with time-dependent damping, and nonlinear evoultion equations with dynamic boundary conditions; etc. Our purposes are to obtain a series of significant results, to develop new research ideas and theories, to promote and improve essentially the existing theories, and to further the development of the related fields.

"抽象空间中的非线性发展方程"是现代分析学中十分重要的分支之一。目前，相关研究非常活跃、令人关注。本项目将对此分支中的一些前沿性课题: 具有非局部非线性扰动项的非线性时变发展方程的动力边值问题的适定性、Hilbert空间中非线性发展方程的耦合系统的Cauchy问题的适定性、 能量不减情形下的Hilbert空间中的二阶非线性记忆型耦合系统的指数稳定性和多项式衰减性、主算子不同情形下的非线性耦合系统t^(-1)衰减性、 时变算子值记忆核情形下的非线性记忆型发展方程的精确能控性、具有时变阻尼的发展方程及动力边值条件下的非线性发展方程解对平衡态的收敛性等，进行深入研究，力争获得一系列有重要意义的研究结果，发展出新的研究理念和理论，使现有理论得到本质性的推进和完善，并带动和促进相关学科领域研究的纵深发展。

我们对由一个Hilbert空间中记忆型非线性发展方程与一个线性发展方程耦合后形成的耦合系统的Cauchy问题，建立了新的适定性判别法则；针对记忆核函数单调非负可积、且耦合阻尼发展系统同波速时的线性和半线性情形，严格论证了这类耦合阻尼发展系统具有1/t的衰减率（一致衰减的）；在未知函数满足Dirichlet边界条件的框架下，获得了关于带历史记忆项的多孔弹性系统的目前最佳的稳定性结果；对一类拟线性双曲系统的Cauchy问题，获得了新的适定性定理； 在不要求能量递减的情形下，建立了一些关于Hilbert空间中二阶非线性记忆阻尼型发展方程耦合系统的指数稳定性和多项式衰减性的判别法则；给出了具有时变位势的内部控制热方程可达子空间的一些等价性特征刻画，提供了确保Bang-Bang性质的一个充分条件；证明了一类具有内部时变速度阻尼的半线性波动方程的整体解，当时间趋于无穷大时，将收敛到平衡态，而且收敛率与时变系数以及Lojasiewicz-Simon指数有密切联系；给出了仅具有边界速度阻尼时，一类具有Wentzell边界条件的耦合系统的衰减性估计, 部分回答了Cavalcanti于2007年提出的一个公开问题；获得了一类非线性Wentzell边界条件下的发展方程系统的能量衰减率；对多孔的交互边界假设下的波方程耦合边界非线性振动方程的系统， 在不需要区域边界层的局部耗散作用的情形下, 得到了整个系统的一致能量衰减, 并给出了解的一致衰减速率；对阻尼仅仅依赖于非线性Wentzell边界条件的波动方程，得到了目前最佳的边界稳定化结果,等等。我们在《J. Differential Equations》、《SIAM J. Control Optim》、《J. Funct. Anal.》、《Systems & Control Letters》、《Inverse Problems》、《Nonlinear Analysis: TMA》、《Semigroup Forum》等学术刊物（全部为国外SCI期刊）上发表论文25篇；培养博士5名、 硕士1名。两名博士毕业生被评为上海市优秀毕业生。