量子态分类与量子绝热逼近中的算子论方法

In this project, in the background of quantum theory, by synthetically using the thought and method of analysis, algebra, geometry and topology, classifications of quantum states and quantum adiabatic approximation are discussed systematically and thoroughly in terms of operator block technology, operator spectrum decomposition and completely positive maps. Based on classifications and characterizations for the entanglement and correlations of multipartite quantum states, new measure functions will be introduced in order to quantify the quantum entanglement and correlations, and some properties of various sets containing corresponding states will be explored, as well as standard forms of quantum operations which preserve or change entanglements or correlations; Error evaluations of quantum adiabatic approximation are obtained；By introducing abstract PT-symmetric operators, the time evolution in PT-symmetric quantum systems and corresponding adiabatic approximation theory are established.The explicit features and innovations of this project lie in outstanding the thought of classification by classifying the entanglement and correlations, projecting the quantitative study by proposing the measure functions for some characters of quantum states, studying the structures of quantum operations which preserve or change some quantum properties and adiabatic approximation in the view of operator structure. The research results of this project will provide a theoretical basis for physical preparation and storage of entangled and correlated states experimentally and some new research subjects as well as applicable prospects for operator theory and operator algebra.

本项目以量子理论为背景，综合运用分析、代数、几何与拓扑的思想方法，以算子分块技巧、算子谱分解与完全正映射等为工具，系统研究量子态分类与量子绝热逼近问题。对多体量子态的纠缠性、关联性进行适当分类与刻画，引入新的纠缠度量函数与关联度量函数，揭示各种量子态之集的整体性质；建立保持或改变纠缠性、关联性的量子运算的算子结构；得到经典量子系统的绝热逼近误差估计；引入抽象的PT-对称算子，提出PT-对称量子系统的时间演化方程，并建立相应的绝热逼近理论。创新与特色之处在于：通过对多体量子态的纠缠性与关联性进行分类研究，突出数学中的分类思想；提出相应的量化度量函数，对量子态的重要特性进行计量研究；既研究量子特性的保持问题，又关注它的改变问题；从算子结构观点，研究绝热逼近问题。研究意义是：为纠缠态、关联态的物理制备与存储、量子绝热计算等方面奠定理论基础，为算子论与算子代数本身提供一些新的研究课题与应用前景。

随着信息科学技术的发展，以Compu+X或X＋info 形式出现的新型交叉学科层出不穷，如计算生物学、社会计算、生物信息学、空间信息学、纳米信息学等，各种科学与计算技术的结合都基于数学模型，建立计算模型要求有很深的数学背景。量子力学是一门新的学科分支—《量子信息学》应运而生。该学科是量子力学与信息科学相结合的产物，是以量子力学的态叠加原理为基础，研究信息处理的一门新兴前沿科学。. 本项目以量子理论为背景，综合运用分析、代数、几何与拓扑的思想方法，以算子分块技巧、算子谱分解与完全正映射等为工具，系统研究了量子态分类与量子绝热逼近问题。对多体量子态的纠缠性、关联性进行适当分类与刻画，引入了新的纠缠度量函数与关联度量函数，揭示了各种量子态之集的整体性质；建立保持或改变纠缠性、关联性的量子运算的算子结构；得到了经典量子系统的绝热逼近误差估计；引入了抽象的PT-对称算子，提出PT-对称量子系统的时间演化方程，并建立相应的绝热逼近理论。具体研究内容包括：量子关联、量子纠缠、量子互文性、量子运算、量子网络、量子绝热演化、绝热量子计算、量子广义熵、量子不确定性以及相关问题研究。. 本项目历时4年，共发表科研论文33篇，其中29篇发表在SCI期刊，4篇发表在国内权威期刊。所取得的研究成果集中关注量子态分类与绝热逼近理论中相关算子结构问题，属于信息与数学的交叉领域，具有学科前沿性，相关成果为量子信息中的量子态分类、纠缠态、关联态的物理制备、存储与调控、量子信息形态转换及测量、量子绝热计算等方面的研究奠定数学理论基础。同时，通过本项目的研究将为算子论与算子代数理论本身提供了新的研究课题与应用前景。