基于凸优化理论的数字IIR滤波器设计研究

数字滤波器是数字信号处理中常用工具之一。与FIR滤波器相比，IIR滤波器的极点位置并不固定。一般来说，其设计问题并非凸优化问题。传统设计算法常常采用局部近似的思路求解问题，因而缺乏行之有效的途径获取问题的全局最优解信息。本项目将系统分析IIR滤波器设计问题的基本数学模型，并在凸优化理论框架之下探索利用凸集松弛及相关技术构建IIR滤波器设计算法的新思路，从而有效克服传统设计算法的弱点，提高设计精度。本项目还将在通用优化算法的基础之上，充分考虑IIR滤波器设计问题的结构和数值特性，开发高效、稳定的数值算法，以满足实际应用的需要。对IIR滤波器设计的深入研究不仅可以解决实际应用中所碰到的各类问题，更为重要的是，可以将解决此类问题的方法和经验拓展至相关研究领域，从而更好地处理类似的非凸优化设计问题。

本研究重点分析了IIR滤波器设计问题中的若干关键理论与方法，针对传统设计算法的缺点，提出了行之有效的解决方法。（1）结合Steiglitz–McBride（SM）法，提出了部分二阶因子更新策略。该方法将IIR滤波器传递函数中分母多项式分解为少量二阶（或一阶）因子项和一个高阶因子项的乘积。迭代过程中，只需单独更新这些二阶（或一阶）因子所对应的极点，其余极点则作为一个整体（即高阶因子项）进行更新，并且在更新高阶因子时无需加入稳定性约束条件，从而保证最优设计不会被排除于设计问题的可行域之外。这一方法较好地平衡了设计精度与计算效率之间的矛盾。（2）提出了新的稳定性约束条件，该条件为充分必要条件，从而保证设计结果不会受到该约束条件的影响。其次，该稳定性约束条件具有二次多项式的形式，与传统的充分必要稳定性约束条件相比，具有较为简洁的形式，非常便于与常用的设计方法相结合。（3）对相关研究内容进行了分析，提出了高效、可靠的稀疏滤波器设计算法，并证明了设计结果局部最优性的充分性条件。此外，还将稀疏滤波器设计技巧成功用于估计滤波器阶数，从而使得设计算法具有自动选择合理阶数的能力。