玻色爱因斯坦凝聚的李群方法研究

Lie group method is one of the branches of structure preserving algorithm.BEC is a unique quantum mechanical phase phenomenon with important research value and meaning. It is very inconvenient to observe physics experiment of BEC directively and freely, since the physics experimental observation only can be observed by breaking the proceeding of the experiment and to observe experimental traces only. Since we can not observe the experiment directly, so we can not observe its generation, change, development and its end, and also we can not observe its diversity, complexity and stability. Therefore, it is very necessary and meaningful to study BEC both in theory and numerical simulation. The theory framework of BEC is the nonlinear Gross-Pitaevskii equation. Most of the numerical method in BEC numeric simulation cannot maintain the system's geometry and physical properties at present, namely, accuracy and reliability of the numerical experiment is not reliable, especially for long time simulation, so we need to design for new numeric method to solve this problem. Structure preserving method is a kind of new algorithm, since its basic idea is to preserve as much as possible geometry and physical properties in numerical simulation， it has excellent numerical stability and precision of long time tracking ability. This project is intend to study structure preserving method to solve the aforementioned problem to give guidance for future theoretical and experiment in BEC study, meanwhile, to study structure preserving method in application and theory.

李群方法是保几何结构方法的一个分支，保几何结构方法是一种新的先进的计算理念和方法。BEC是独特的量子力学相变，有重要的研究价值和意义。由于不能随时观察实验的状态，无法直接随时观察BEC的产生、变化、发展和结束，因此,对BEC的理论研究和数值模拟研究就变得很有必要和意义。理论上对BEC实验中所出现的涡漩的研究是在非线性Gross-Pitaevskii方程的框架下进行的。目前关于BEC的数值方法大多不能保持系统的几何结构与物理量的守恒，在模拟长时间的物理实验时不能很好地保持数值结果的准确性和可靠性,不宜用于长时间发展的物理系统的模拟。保结构方法的基本思想是在数值模拟时尽可能多地保持系统的几何结构和物理量的守恒，具有优异的数值稳定性和精确的长时间跟踪能力与很好的可信度。本项目拟利用李群方法等保结构方法研究这些问题，为将来的实验研究提供理论指导，同时在应用中进一步验证、研究和发展保几何结构算法。

本项目旨在研究李群方法及其在波色爱因斯坦凝聚中的应用研究，项目组研究了李群方法，研究了 Gross-Pitaevskii方程的辛几何结构与多辛几何结构，同时研究了系统数值量的守恒特性；构造Gross-Pitaevskii方程的李群方法、辛算法与多辛算法并用其模拟在BEC中的涡旋产生后的发展变化情况；分析对比了辛算法与多辛算法的性质；研究了该方程的数值格式的李群李代数, 并考虑了李群方法在数值模拟涡旋的发展变化情况； 针对一般李群方法计算速度较慢的情况， 也开展了研究在本课题的研究中所采用的李群方法的快速计算方法；对整体研究Gross -Pitaevskii 方程的各种保结构算法的应用性能起到了一定的促进和支持作用。.在项目研究中，对所涉及的李群方法进行了一定的研究，对于李群方法的快速计算进行了一些理论研究和数值实验，对相关的模型进行了一些数值方法研究。对这些方法在其他领域的应用也作了一些研究。.在对波色爱因斯坦凝聚的数值研究中，对描述BEC的数学模型Gross-Pitaevskii方程进行了一些研究，对此方程的李群方法、辛几何结构和多辛几何结构进行了一些研究，根据其几何结构设计了相应的保守几何结构的李群方法和其他算法，利用这些算法进行了相应的数值实验，对BEC的运动、位移、衰减及寿命进行了研究。在数值试验中，对李群方法的问题进行了一些研究。李群方法众多，但是都有一个致命的瓶颈问题:计算速度较慢， 特别是，矩阵的阶数变大的时候， 计算速度会特别慢。对这些算法的数值实验，研究了迭代方法的选取问题，随着问题取点数的增大，迭代方法的收敛速度很快变慢。. 在数值实验中，通过大量的数值实验结果发现，利用李群方法和保守方程的几何结构的指导思想来设计算法是可行的、有意义的，数值实验结果和物理实验结果是基本吻合的。但i李群方法计算速度慢的问题严重制约了李群方法的额发展和应用。.用李群方法和保结构数值算法研究波色爱因斯坦的数值计算，取得了一些结果。对李群.方法和保结构算法有一定的促进作用。 并且此算法对于长时间发展的物理过程的模拟有着明显的优越性。