模拟玻色-爱因斯坦凝聚体的高效数值方法

本项目旨在为模拟偶极相互作用下（dipolar-dipolar interaction）的玻色-爱因斯坦凝聚现象提出高效的数值方法，重点考虑的偏微分方程（组）包括静态的Gross-Pitaevskii方程（组）以及动态的Gross-Pitaevskii方程（组）。前者是一个带限制性条件的非线性特征值问题，后者是一个含有守恒量的非线性薛定谔方程（组）,并且二者均含有奇性积分项，如何设计高效（高精度且快速）的数值方法来求出它们的数值解是一个尚待解决的问题。 我们将设计一种模守恒且能量递减的数值方法来求得静态的Gross-Pitaevskii方程（组）的数值解；我们也将设计一种高精度且快速的方法-时间分裂谱方法来求解动态的Gross-Pitaevskii方程（组）的数值解;并用所求得的数值解来分别模拟偶极相互作用下的玻色-爱因斯坦凝聚体的基态与动力学。

自从1995年物理学家在实验中观察到玻色-爱因斯坦凝聚现象后，玻色-爱因斯坦凝聚体(BEC)就很快成为了理论物理界一个最热的研究内容之一。BEC的实验成功促使人们更加期望了解它的性质以及它的形成过程，这不仅是因为BEC的实现具有重大的科学意义和潜在的应用价值，而且是因为BEC的实现为许多科学研究和高技术应用打开了一扇崭新的大门。.在国家自然科学基金委的资助下，本项目为模拟玻色-爱因斯坦凝聚现象提出高效的数值方法，重点考虑的偏微分方程（组）包括静态的Gross-Pitaevskii（GP)方程（组）以及动态的GP方程（组）。前者是一个带约束性条件的非线性特征值问题，后者是一个含有守恒量的非线性薛定谔方程（组）,并且二者均含有奇性积分项。 我们设计了一种模守恒且能量递减的数值方法来求得静态的GP方程（组）的数值解；我们也设计一种高精度且快速的方法-时间分裂谱方法来求解动态的GP方程（组）的数值解;并把所求得的数值解用来分别模拟BEC的基态与动力学。.项目完成后，在研究方法上：.一方面，我们提出了一种如何求解“能量泛函在约束性条件下的最小值”的一般方法。我们提出的方法已经广泛应用到BEC在极低温度下不同形式基态解的求解过程。我们的方法是先猜出一个接近最小值的解，然后沿着能量泛函的梯度方向构造一个连续导数流。它是一个发展方程（组）。它具有一些特性：模量（及磁场量）守恒，并且能量递减。我们设计一种使模量（及磁场量）守恒并且使得能量递减的数值方法来离散此发展方程（组）。它的稳态解就是满足“能量泛函在约束性条件下的最小值解”。.另一方面，我们也分别设计了一类高精度且快速的方法—时间分裂谱方法来求解单个GP方程或多个相耦合的动态非线性GP方程组。该数值方法的优点是空间上具有谱精度、时间上具有二阶或四阶或更高的精度、无条件稳定、显式等。该数值方法还能数值上保持动态的非线性GP方程（组）的守恒量。我们从数学上严格地证明此数值方法的无条件稳定性与守恒性。我们设计的时间分裂谱方法包括时间分裂傅里叶谱方法(处理零边界条件或周期性边界条件)、时间分裂Sine谱方法(处理零边界条件)、时间分裂Chebyshev谱方法(处理非零边界条件)等。.项目完成后，我们获得了如下研究成果：在科学出版社出版一本专著，在SCI收录期刊发表8篇研究论文，另外还有2篇研究论文被SCI收录期刊录用。