博弈控制论的矩阵半张量积方法

Semi-tensor product (STP) is a new matrix product proposed by Daizhan Cheng. Using STP, the algebraic state space representation (ASSR) has been developed, and it is now an efficient tool in studying logical dynamic systems. Finite game is essentially a multi-valued logical decision-making system. Hence the ASSR becomes a new powerful tool in modeling analysis and control of evolutionary games. Game theoretic control, as a newly merging direction, is a discipline between Game Theory and Control Theory. The purpose of this project is to develop a new field called the STP based game theoretic control, using STP as the fundamental tool; ASSR as the theoretical framework; potential game as the breakthrough point. The research topics include: (a) the algebraic state space representation of potential game and its optimization; (b) structure varying networked evolutionary game and its local information based control; (c) vector space structure of finite games and subspace decomposition; (d) deep learning games under algebraic state space representation and its application to adaptive control of evolutionary games. Meanwhile, a new matrix theory of STP and its calculation are investigated.

矩阵半张量积是由程代展提出的一种新的矩阵乘法, 利用矩阵半张量积发展出的代数状态空间表示已经成为研究逻辑动态系统的有效工具. 有限博弈本质上是一个多值逻辑的决策系统, 代数状态空间方法是对演化博弈建模分析与控制的强有力新工具. 博弈控制论是博弈与控制的交叉学科, 是控制论的一个新生长点. 本项目的目的是以矩阵半张量为基本工具, 以代数状态空间方法为理论框架, 以势博弈为突破点, 开拓博弈控制的半张量积理论. 具体内容包括,势博弈的代数状态空间表示与优化; 变拓扑网络演化博弈的建模与基于局部信息的控制; 有限博弈的向量空间结构与子空间分解; 基于代数状态空间的深度学习及其在博弈自适应控制中的应用. 同时, 发展矩阵半张量积的数学理论, 形成一套跨维数可运算的新矩阵理论.

博弈控制论是博弈论与控制论的交叉学科领域, 是自动化与信息领域的一个新兴的科研方向. 随着高新科技的发展, 控制对象, 如经济系统、 生物系统、 网络化系统等, 具有复杂化和智能化的趋势, 经典的控制方法难以实现有效控制. 博弈控制论成为对付此类系统的有效工具. 矩阵半张量积是我们原创的理论, 它是有限博弈建模与策略优化设计的有力工具. 本项目的主要研究内容包括: (1) 网络化逻辑动态系统的矩阵半张量积理论; (2) 有限博弈的向量空间结构; (3) 有限演化博弈控制系统的建模与优化控制设计. 重要结果包括: (1) 利用矩阵半张量积及近世代数方法, 得到多值逻辑的最小生成基, 它仅包括两个逻辑算子; (2) 利用辅助系统集合能控性理论, 给出布尔网络能观性的易于检验的充要条件, 并给出输出跟踪问题的解; (3) 深入研究了势博弈的类型与性质: 包括研究局势受限势博弈的检验, 证明了对称布尔博弈即势博弈, 提出余集加权势博弈的概念, 给出检验条件, 等; (4) 提出多种基于博弈的优化控制设计方法: 包括演化博弈的策略学习, 基于拥塞博弈的资源优化, 事件驱动的博弈控制, 基于虚拟玩家的策略演化, 连续博弈的有限元方法, 等; (5) 有限博弈的空间结构: 包括: 基于势函数的向量空间分解, 基于对称-反对称的向量空间分解, 图形博弈的拓扑结构, 等; (6) 利用矩阵半张量积研究了有限泛布尔代数以及超复数的一般结构. 项目执行期间共发表两本专著, 共发表期刊论文 65 篇, 其中 SCI 论文 60 篇, 会议论文 16 篇. 毕业博士后 3 名、博士生 8 名、 硕士生 5 名. 做大会报告 4 次. 项目的科学意义: 以原创的矩阵半张量积为工具, 在前期工作的基础上, 在势博弈的检验、 性质等方面, 以及有限博弈的空间结构与分解等根本性问题上做出开创性的工作. 提出了一系列基于博弈的新的控制方法, 为博弈控制理论提供了有效工具.