基于ISS稳定理论与单调方法的脉冲时滞系统的定性分析

In real world, there commonly is a class of hybrid dynamical systems with time delays and impulsive effects. Since the systems display a combination of characteristics of both continuous-time systems and discrete-time systems, the research of hybrid systems is more complex and difficult than one of general infinite dimensional dynamical systems described by delayed differential equations. Especially, it is a key point to show how impulses affect the long time behaviors for solutions of the systems. The subject of impulsive hybrid systems with time delays and its applications needs to be deeply investigated. In this project we will develop the input-to-state stability (ISS) theory for impulsive hybrid systems with time delays and apply the theory to analyze its asymptotic behaviors such as stability region, attraction domain, basin of attraction, attracting sets, attractors and so on. Furthermore, by discretization idea and method of monotone dynamical systems, some dynamical behaviors on positive (quasi) invariant sets, boundedness, existence and stability of periodic solutions will be investigated for the impulsive delayed systems. On the basis of the above results, we can study the impulsive control on dynamical behaviors of some epidemic models and population systems in patchy environment with time delays. The obtained results should be helpful to understand impulsive and delayed effects on some dynamical properties of hybrid impulsive systems. The proposal work may develop some new theories and methods in the field of hybrid systems with discontinuity, infinite dimension and nonlinearity, and provide some theoretical foundation on the applications of impulsive control method to practical problems.

在现实世界中，普遍存在着具有时滞和脉冲效应的混合系统，由于它是连续系统与离散系统的综合，其动力学行为研究比一般时滞微分方程描述的无穷维系统有着更丰富而复杂的内容，尤其在揭示脉冲如何作用于系统动态行为的规律方面，仍然需要发展一些理论和方法。 本项目将建立脉冲时滞混合系统的输入对状态稳定(ISS)理论，并利用它来分析系统的稳定域和吸引域、吸引盆和吸引集、吸引子等渐近性质；通过离散化脉冲时滞系统并结合泛函差分方程诱导的单调离散动力系统方法，刻画系统的正(拟)不变集、有界性、周期解及稳定性等动力学行为；在此基础上，将上述理论和方法应用于解决一些具有时滞的传染病模型和多地区种群系统动态性质的脉冲控制问题。项目研究将有助于理解脉冲和时滞对系统动力学性质的影响，并发展具有不连续性、无穷维特征和非线性的复杂混合系统研究的一些新理论和新方法，也为实际问题中脉冲控制方法的应用提供一些理论依据。

动态系统中广泛存在时延和跳跃现象，研究具有脉冲和时滞的混合系统受到关注。由于系统的无穷维特征和不连续性，其动力学行为研究具有较大困难和挑战性，尤其在揭示脉冲如何作用于系统动态行为的规律方面，仍然需要发展一些理论和方法。 本项目主要研究了脉冲时滞混合系统的输入对状态稳定(ISS)理论，并发展混合系统的单调性、映射动力学、持续性理论等方法分析时滞混合系统的渐近性质；利用上述理论和方法应用分析于一些脉冲时滞生物系统解的性态，并扩展到一些不连续时滞系统的控制问题。..在项目开展过程中，我们首先提出了具有时变增益和跳跃特征的脉冲时滞系统的ISS 稳定性概念，建立了ISS稳定性的一系列判别条件；然后，基于上述ISS 稳定性理论，借助脉冲时滞系统的离散化单调性质，研究脉冲时滞微分方程的稳定性、吸引性、有界性、正不变集、吸引集(盆)和吸引子等渐近性质，揭示了脉冲作用于这些渐近性质的内在规律；进一步地，我们还把脉冲控制思想和方法扩展到了马尔科夫跳变系统、切换系统等不连续系统的动态行为分析并给出一些不连续控制方法。同时，我们通过发展了脉冲混合系统的单调动力系统、多维映射动力学、持久性理论等相关理论，在次基础上，研究具有脉冲和时滞效应的生物系统（如神经网络系统、传染病模型和种群系统）的动力行为及脉冲控制，如持续性、周期解存在性和稳定性等动态行为，特别分析了脉冲对这些动力行为的影响。项目为混合动力系统定性研究提供了一些新的理论和方法，并为实际问题的应用(如传染病的脉冲治疗、种群生态管理等方面)提供一些理论依据。