分数阶抛物守恒律方程解的大时间行为研究

In this project, we use Green’s function method, along with tools like energy method, harmonic analysis, to study the long-time behavior of solutions to nonlinear evolution equations with dissipation, expecially fractal parabolic conservation laws. Particularly we study the following two problems: 1. the pointwise estimates of solutions to fractal parabolic conservation laws near constant states with large perturbation; 2. the decay estimates of solutions to fractal parabolic conservation laws near fundamental waves with small perturbation. The problems have strong background in applications and are mathematically very rich, meanwhile the approach of using Green’s function method to study such problems is quite new. The results of this project will contribute to a better understanding of the long-time behavior of solutions to fractal parabolic conservation laws, and even more general nonlinear evolution equations with dissipation, and to developing related theories, thus they are of important academic value.

本项目主要应用格林函数方法，结合能量方法、调和分析等工具研究带耗散结构的非线性发展方程，特别是分数阶抛物守恒律方程，解的大时间行为。具体对以下两方面问题进行研究：1、分数阶抛物守恒律方程在常状态附近大扰动解的逐点估计；2、分数阶抛物守恒律方程在基本波附近小扰动解的衰减估计。这些问题具有很强的应用背景和丰富的数学内涵，同时通过格林函数方法研究此类问题在方法上比较新颖。本项目的研究成果对进一步了解分数阶抛物守恒律方程，以及更一般的带耗散结构的非线性发展方程，解的大时间行为和发展相关理论能起到一定的推动作用，有较为重要的学术价值。

在本项目资助下，本人开展了对抛物守恒律方程解的大时间行为的研究。在项目执行期间发表SCI论文1篇，另有相关后续工作正在进行。.如项目摘要所述，本项目主要应用格林函数方法，结合能量方法、调和分析等工具研究带耗散结构的非线性发展方程解的大时间行为。所研究问题具有很强的应用背景和丰富的数学内涵，同时通过格林函数方法研究此类问题在方法上比较新颖。.作为前期准备工作，本人与合作者得到分数阶抛物守恒律方程在任意大初值下解在L^2范数和齐次Sobolev范数下的最佳衰减估计。在项目执行期间，本人与王维克教授合作得到多维抛物守恒律方程在初值大扰动情形下解的逐点估计。.同时，本人也开展了许多相关的学术活动。除了定期参加由本人博士生导师王维克教授在上海交通大学数学系组织的讨论班，由本人发起在上海财经大学数学科学学院也开始定期开展偏微分方程研讨班。另外，本人也参加了多个偏微分方程学术会议。