带跳的平均场泛函随机微分方程理论及应用研究

Mean-field stochastic differential equations (MFSDE), a hot topic at present, was put forward by Buckdahn et al. in order to deal with the interactions among particles. However, all of the existing literature on MFSDE were based on Brownian motion, and, except for stochastic noises, many systems in nature may suffer sudden environmental shocks. Thus, in this project, we are going to have a systematic study on (neutral) mean-field stochastic functional differential equations with jumps. It mainly involves: ① (Neutral) Mean-field stochastic functional differential equations with jumps will be proposed, the existence and uniqueness, strong (weak) stability of the solutions will be analyzed. ② Invariant measures and stationary distributions of the (neutral) mean-field stochastic functional differential equations with jumps will be discussed, and large derivations of the invariant measures will be given. ③ Harnack inequality and log-Harnack inequality of the (neutral) mean-field stochastic functional differential equations with jumps will be derived. ④ Stability and synchronization conditions of delayed stochastic dynamical systems with jumps will be studied. This project will not only enrich the theories of MFSDE, but also establish a bridge between MFSDE and complex networks.

为解决大系统中粒子间的相互作用问题，Buckdahn等提出了平均场随机微分方程，成为近年来的研究热点。由于已有文献讨论的都是布朗运动驱动的连续轨道情形，而自然界很多系统除了受随机噪声影响，还可能受突发因素影响，因此，本项目拟提出带跳的(中立型)平均场泛函随机微分方程，并对其进行系统分析。内容包括：①提出Lévy过程驱动的(中立型)平均场泛函随机微分方程，并对解的存在唯一性、强(弱)稳定性等进行分析。②讨论Lévy过程驱动的(中立型)平均场泛函随机微分方程不变测度的存在唯一性和对应片段过程的指数遍历性，并探讨不变测度的大偏差原理。③建立Lévy过程驱动的(中立型)平均场泛函随机微分方程的Harnack和对数Harnack不等式。④研究节点动力学含Lévy噪声的延迟复杂网络模型稳定性和同步行为，给出其判别依据。本项目不仅能丰富平均场随机微分方程现有理论，而且还能为其在复杂网络中的应用建立桥梁。

随机分析是目前非常活跃的一个研究领域，主要包括伊藤积分、随机(偏)微分方程、倒向随机微分方程等，它在从物理学到经济学等众多领域研究中都发挥着重要作用。. 由于已有文献讨论的都是布朗运动驱动的连续轨道情形，而自然界很多系统除了受随机噪声影响，还可能受突发因素影响，因此，本项目提出带跳的(中立型)平均场泛函随机微分方程，并对其进行系统分析。主要内容包括：①提出Lévy过程驱动的(中立型)平均场泛函随机微分方程，并对解的存在唯一性、强(弱)稳定性等进行分析。②讨论Lévy过程驱动的(中立型)平均场泛函随机微分方程不变测度的存在唯一性和对应片段过程的指数遍历性，并探讨不变测度的大偏差原理。③建立Lévy过程驱动的(中立型)平均场泛函随机微分方程的Harnack和对数Harnack不等式。④研究节点动力学含Lévy噪声的延迟复杂网络模型稳定性和同步行为，给出其判别依据。. 通过本项目，我们以学术论文的形式发表了研究成果，论文主要发表在中国科学, B. Math. SCI., Appl. Math. Comput, J Comput. Appl. Math., Discrete Math等国内外知名杂志和刊物上，其中16篇论文标注了本基金编号，15篇论文被SCI检索收录。项目负责人受邀参加了2019年国际数理统计学会-大连理工大学概率统计国际学术会议并做30分钟分组报告，会议上报告了本项目的部分研究工作。. 本项目对Lévy过程驱动的(中立型)平均场泛函随机微分方程解的性质进行了深入研究，这些结论不仅能丰富平均场随机微分方程现有理论，为随机微分方程在其他学科的发展及应用提供理论支撑，而且还能为其在复杂网络中的应用建立桥梁。