随机偏泛函微分方程的基本理论及其应用

这一项目研究随机偏泛函微分方程的基本理论：包括适定性和正则性理论、比较原理、随机流的存在性。首先，假设二阶微分算子是一致椭圆的，在适当选择的函数空间中，讨论受白噪声驱动的随机偏泛函微分方程初值/初边值问题解的存在唯一性；接着，重点研究带有白噪声的随机线性偏泛函微分方程，在漂移（drift）和扩散(diffusion)系数充分光滑的前提下， 给出扩散和漂移系数的几何限制，使得解对空间变量能够达到预先给定的光滑阶数；利用这些正则性结果， 给出解对初值连续、随机流/共环（cocycle）存在的条件。这些工作是用动力系统方法研究随机偏泛函微分方程最基础性的部分。另一基础性工作就是随机泛函微分方程的比较原理，证明随机常泛函微分方程组/单个随机偏泛函微分方程的比较原理， 给出随机泛函微分方程的解产生随机单调/强单调动力系统的充分条件。给出随机吸引子和稳定平稳解的存在准则。

研究了由加法噪声驱动的时滞反应扩散方程的Cauchy问题和格方程。引入了Ornstein-Uhlenbeck变换， 把这类随机方程变换成带随机参数的时滞系统， 证明变换前后方程解之间的随机共轭变换。由此获得随机系统的解生成一个随机流。运用尾估计技术导出了有界吸收集的存在性和和随机流的拉回的渐近紧性。最终获得随机吸引子的存在性。考虑两个随机泛函微分方程， 它们的扩散项相同且独立于时滞，至少一个漂移项满足标准的拟单调条件，我们证明它们的解具有比较原理。它是获得随机泛函微分方程解生成随机单调动力系统的基本定理，并且能提供某些随机系统精确动力系统性态的描述。建立了两种群竞争两种营养物，且Monod 系数非常值的搅拌非均匀的孵化器反应扩散方程组。利用系统的两个守恒率把系统约化，约化后方程具有极值原理和两个次线性的不变子系统。利用上下解理论， 我们给出整个系统的两个种群都熄灭、一个熄灭另一个生存和两种群都持续生存的条件。对长度为一的合作cascade 系统，我们证明其收敛轨线的点集包含一个开的稠密集合。利用变分原理， 给出几类二阶周期Hamilton系统同宿轨道的存在性。