CAD中混合拟Bézier曲线的整体几何特征分析及应用研究

The existing work for the Bézier-like curve concerns the local segment on a limited closed interval. The project breaks the routine, puts eyes for integer and studies the loci of the whole curve, which contains the local segment. According to the results that whole rational quadratic Bézier curves are all conic sections, the project asks prospective questions for the loci of the mixed Bézier-like curves: firstly, how to describe the loci of the whole curve; secondly, how to present the integer geometric characters, such as vertices, foci of conic sections, as the explicit expression of the control points. For a whole curve, the study of the problem may have the effects: firstly, the whole curve may be described by the control points of one little segment of it, so that the redundancy of the storing data may be decreased; secondly, using single segment to describe the whole curve, may reduce the necessity of conjunction, which simplify the model; thirdly, the curve shape may be intuitively adjusted by using integer geometric characters. Since the existing loci analysis methods apply to low order space, to study the loci of Bézier-like curve of any order, we need to overcome difficulties, exploit new ideas and new methods. Research plan starts from the transformation matrixes between different basis. Next, divide the algebraic polynomial from the mixed space to analysis the whole foci, and ensure the geometric characters. Then the explicit expressions of the characters are given. Lastly, some application algorithms are designed, which can play a huge role in geometric modeling of CAD.

对于造型曲线，现今大多关注有限闭参数域上的局部段。本项目打破常规，从整体着眼，研究局部段所在的整体曲线。参照整体有理二次Bézier曲线为圆锥曲线的结论，本项目针对混合拟Bézier曲线的整体轨迹，提出前瞻性问题：一、曲线的整体轨迹怎样刻画；二、轨迹上的整体几何特征（如圆锥曲线的顶点、焦点等）怎样由控制顶点显式表示。对于一条整体曲线，研究该问题可能的用处有：一、整体曲线只需用其上一小段的控制顶点来描述，可减少存储数据的冗余；二、单段描述，不需拼接，从而简化模型；三、曲线的形状用几何特征来调节，体现直观性。由于已有的轨迹分析方法仅适用于低阶，因此，项目要探索任意阶拟Bézier曲线的轨迹，就要开拓新思路，发掘新方法。研究方案从基函数的转换公式入手，先将代数式多项式从混合空间中分离，以此分析整体轨迹，再确定几何特征，并求解显式表达，最后设计应用算法，使整体轨迹能在CAD造型系统中发挥巨大作用。

形状分析是CAD几何造型的重要环节。针对重要的造型工具之一C-Bézier，仅知道它在四阶情况下，平面曲线的几何形状，而对任意高阶，平面和空间曲线的几何形状问题，十多年来没有进展。本项目围绕该问题进行研究，采用了两种思想：1、打破传统造型曲线主要研究有界闭区间上的有限段，将参数域扩展到整个实数域，进而研究其整体曲线；2、同样是C-Bézier基函数中的多项式，将代数部分和三角部分分开处理，同样是参数方程中的矢量，在图形中作为点和矢量分开处理。项目主要完成了理论和算法两部分工作。一、理论部分，分析了C-Bézier曲线的整体几何形状和几何特征，得出结论：1、任一C-Bézier曲线可看作一个点的轨迹，该点沿着一个椭圆轨道绕该椭圆的中心进行旋转，同时，该椭圆的中心沿着一条Bézier曲线进行移动；2、该C-Bézier曲线的几何特征，即该椭圆在移动过程中，其中心、顶点、焦点所形成的轨迹，均为Bézier曲线，并且，它们的控制顶点，均可以通过原C-Bézier曲线的控制顶点显式表示。二、算法部分，研究了：1、Bézier曲线到C-Bézier曲线的升阶算法，可用于Bézier到C-Bézier模型的转换；2、C-Bézier曲线的迁移算法和判断两相邻C-Bézier曲线是否在同一整体曲线上的算法，可用于减少整体C-Bézier曲线模型存储的数据量；3、使用整体几何特征调节C-Bézier曲线的形状的算法，使C-Bézier曲线的形状调节更加几何直观。所有理论和算法，都适用于任意高阶的C-Bézier曲线，同时适用于平面和空间曲线，且具有明确的几何意义，因此，本项目圆满的完成了申请书中的研究内容和研究目标。.到目前为止，项目发表或录用了期刊论文8篇，其中，SCI检索4篇，另EI检索2篇。在所有论文中，项目负责人均同时为第一和通讯作者，并且，其中不同的论文被审稿专家评价为：“This is an interesting and relevant paper”、“结果比较实用，为计算带来了很大的便利”、“the paper is interesting and should be accepted”、“this subject is interesting”。参加国内外重要学术会议8人次，其中，报告6人次。因此，本项目超量完成了申请书中的预期研究成果。