CAD中次数任意可变的拟B样条曲面的理论及应用研究

The project studies changeable degree qusi B-spline surfaces over blending space. Blending space includes algebraic, trigonometric polynomials and so on. Changeable degree means the degrees of any basis function over different cells may be different. By now, surface basis with arbitrarily changeable degrees can not be constructed even the domain is a regular rectangle and the space is made up of only algebraic polynomials. Research bases on the fact that the basis functions of many qusi B splines can be constructed by integral method, from the view of probability theory, points out the essence that the basis functions, have two kinds of "identity" at the same time: (1) unnormalized density functions of a set of continuous random variables; (2) a partition of a sample space. The dynamic recursion of the basis functions from lower to higher degrees, is a process of constantly converting between the two identities. From the idea, this project tries to use (1) normalization, (2) looking for a partition of the sample space, (3) calculating the probabilities, to construct the basis functions and the surface with arbitrarily changeable degrees, over non-uniform rectangular domain and based on the blending space. The positivity, weighted property of the basis functions, etc., can be guaranteed from related probability theory. The research significance may be: (1) in theory, the understanding of the essence of splines is deepened, and the intersection between subjects, geometric modeling and probability etc., is promoted; (2) in applications, the restrictions of space and degree of traditional B-splines are broken out, which results in a great simplification for the models, so the project may develop the geometry modeling technology in CAD.

本项目研究混合空间中的变次数拟B样条曲面。其中，混合空间包括代数、三角等多项式；变次数指，基函数在不同胞腔上的次数可以不同。目前，即使是均匀矩形域、代数多项式，都做不到次数任意变。本项目基于曲线情况下，多种拟B样条基函数均可用积分构造这一事实，从概率论角度，指出其本质：这些基函数同时具备两种“身份”，（1）一组连续型随机变量的未归一化的密度函数，（2）一组完备事件的概率函数；基函数从低次到高次的递推过程，正是在这两种身份中不停转变的过程。由此，研究尝试采用（1）归一化（2）找完备事件组（3）求概率的方法构造基函数，去实现非均匀矩形域、混合空间、次数任意可变的拟B样条曲面。基函数的正性、加权性等都由概率理论保证。研究本项目的意义：（1）理论上，加深对样条本质的理解，促进几何造型与概率论等学科的交叉；（2）应用中，同时突破传统B样条在次数和空间上的限制，大幅简化模型，推动CAD造型技术的发展。

变次数B样条，允许不同节点区间上次数不同，是传统B样条的最直接推广之一，在造型不同次段的曲线时，能有效减少冗余数据。项目拟探索矩形域上，每块次数任意可变的混合拟B样条曲面，然而，尝试了概率、降阶、拼接、细分、de Boor-Cox、求值、另类金字塔的方法，均未成功，最后证明了这种曲面不存在。探索过程中，不断发现其它问题，做了如下等工作。.(1) 设计七条路径的六边形金字塔算法，构造三角域上三角多项式拟Bernstein-Bézier基函数及曲面，该金字塔有三边和六边两种形式，分别适用于三角域计算和曲面求值，可用于非有理形式造型三角域上的球面。.(2) 针对Bézier曲线，给出通过多项式重新参数化进行精确降阶的算法，已知任一Bézier曲线，算法判断其是否能降阶，若能，求出降阶后曲线及重新参数化的多项式。与原有算法相比，时间约减少2/3。.(3) 现有两类变次数B样条，一类通过积分递推出基函数定义，另一类通过求值直接由曲线定义。提出并证明了猜想：在相同的控制顶点、相同的节点区间及次数，相同的连续性条件下，曲线相同的充要条件是异次节点区间之间的连续阶不超过1。.(4) 对变次数B样条，当异次间连续阶超过1时，不具备de Boor-Cox公式。提出猜想：连续阶超过1时，有广义的de Boor-Cox公式。证明了高阶基函数确可表为其支撑区间中最高连续阶在递推过程中降为零时的基函数的线性组合，并求出了该组合的多项式系数。.(5) 次数在1~4之间可选，异次段间的连续阶在0~1之间可选，同次段的连续阶为次数减1，给出变次数B样条的细分算法。该算法是整体细分，具有均衡对称性，包含次数限制时，经典的Lane-Riesenfeld细分为特殊情况。.至今，发表或录用论文16篇，均标注项目资助，其中SCI(E) 3篇，另2篇EI。一篇论文获市自然科学优秀论文三等奖。学术会议中报告3次，其中1次获奖。指导3名硕士研究生毕业。