随机时滞耦合控制系统的数学建模与动力学性质分析

Stochastic retarded coupled control system (SRCCS) is one of the research objects in complex system theory. In science and production practice, many complex phenomena could be described by SRCCSs better, since the coupled topology between node systems, the stochastic perturbations and the retard are taken into account. In this project some mathematical models of SRCCS will be established and their dynamic properties will be analyzed. The content includes: (1) Some models of SRCCSs and state feedback SRCCSs will be established based on graph theory. (2) Input-to-state stability, integral input-to-state stability and exponential input-to-state stability for SRCCSs will be studied, by combining Kirchhoff's matrix tree theorem and Lyapunov method. The stochastic stability and boundedness of the state feedback SRCCSs will be considered. The impacts of stochastic disturbations, retard and coupled topology on the dynamics of SRCCSs will be revealed. (3)Some highly effective numerical methods of SRCCSs will be constructed and the numerical simulation will be performed. The aims of this project are that, a framework approach can be developed, by combining stochastic differential equations theory, dynamical systems theory, graph theory, etc. and then a series of easy and effective criteria of stability and boundedness for SRCCSs can be obtained. The main results of the project not only rich the SRCCS theory, but also could provide the theoretical foundation for their applications in engineering.

随机时滞耦合控制系统（简称SRCCS）是复杂系统理论的研究对象之一。由于考虑到结点系统之间的耦合拓扑、随机扰动与时滞，使SRCCS可以更好地刻画科学与生产实践中的许多复杂现象。本项目拟建立SRCCS的数学模型并分析模型的动力学性质。内容包括：（1）基于图论建立SRCCS模型与状态反馈SRCCS模型。（2）结合Kirchhoff矩阵树定理与Lyapunov方法研究SRCCS的输入状态稳定性、积分输入状态稳定性与指数输入状态稳定性。研究状态反馈SRCCS的随机稳定性和有界性。揭示随机扰动、时滞与耦合拓扑对SRCCS动力学性质的影响。(3) 针对SRCCS构造高效的数值仿真方法，并进行数值仿真。本项目期望，综合随机微分方程理论、动力系统理论和图论等，发展出一套框架性的方法，并由此对SRCCS提供一系列简单有效的稳定性与有界性判定准则。在丰富SRCCS理论的同时，也为其在工程上的应用提供理论基础。

随机时滞耦合控制系统（简称SRCCS）广泛应用于生产实践中，研究这类耦合系统具有重要意义。另外，SRCCS的动力学性质在很多应用领域起到关键作用，这引起了很多学者的关注。本项目主要基于随机微分方程理论、图论和Lyapunov方法，研究具有强连通性质的SRCCS的稳定性，周期解，同步性，有界性及其在物理和生物数学中的应用。申请人在项目执行期间共发表与项目相关SCI论文28篇，具体结果为： (1) 研究了随机耦合系统以及随机多组系统的稳定性、耦合反应扩散系统的指数稳定性、时滞耦合控制系统的输入状态稳定性，分别得到了稳定性判断准则。(2) 研究了时滞耦合系统周期解的存在性、唯一性以及全局指数稳定性等，给出了充分性准则。(3) 研究了耦合反应扩散系统、BAM神经网络的同步性，得到了充分性准则。(4) 研究了随机耦合系统的有界性，得到了有界性判定准则。(5) 将得到的结果应用到耦合振子模型以及生物数学的捕食者-食饵模型，验证理论结果的有效性。因此，本项目的研究不仅丰富了SRCCS理论，也为其在工程上的应用提供了理论基础。