随机时滞种群模型若干性质的研究

The growth of species in the natural world is inevitably affected by random noises and time delays, it is therefore important to investigate the stochastic population models with time delays. However, due to the relative lack of approaches, there are only a few results relative to stochastic delay population models. This project will propose some two-species and n-species delay population models perturbed by both the white noises and the colored noises (including the Markovian switching, the Lévy jumps), and will investigate some properties of these models: ① to construct appropriate Lyapunov functions for each population in n-species models combining with the graph theory, and then to obtain the threshold between persistence and extinction for each population. ② To study the permanence of the models by developing a new approach based on Lyapunov's second method and the theory of stopping times, and so on. ③ To investigate the stability of invariant distributions of the models by developing a new approach based on the theory of stochastic analysis and the theory of functional analysis, and so on. ④ To study the optimal harvesting policy of the n-species models based on the theory of ergodicity. This project can provide several new approaches for the investigation of the properties of stochastic delay population models. This project can also reveal the impacts of different types of environmental noises and time delays on the persistence-and-extinction of the species, and on the stochastic permanence, stability of invariant distribution and optimal harvesting policy of the models. Moreover, this project can provide some scientific bases for the policy-making of the conservation of the endangered species and the exploitation of the biological resources better.

自然界中生物的生长不可避免地受到随机噪声和时滞的影响，因此研究随机时滞种群模型具有重要的意义。但由于研究方法的相对缺乏，随机时滞种群模型的研究结果较少。本项目拟建立一些同时受到白噪声和有色噪声（包括马尔科夫切换、Lévy跳）干扰的两种群和n种群时滞模型，并研究其若干性质：①结合图论对n种群模型中每个物种构造合适的Lyapunov函数，得到每个物种生存和灭绝的阈值；②基于Lyapunov第二方法和停时等理论，发展一种新方法研究模型的持久性；③基于随机分析和泛函分析等理论，发展一种新方法研究模型的不变分布稳定性；④基于遍历性理论研究n种群模型的最优捕获策略。本项目的工作能为随机时滞种群模型一些性质的研究提供新方法，也能揭示时滞和不同类型的随机噪声同时存在时它们对物种的生存和灭绝性以及对模型的持久性、不变分布稳定性和最优捕获策略的影响，为更好地制定濒危物种保护政策和生物资源开采政策提供科学依据。

本项目建立了一系列随机种群动力学模型，发展了研究模型稳定性和最优开发策略的新方法，揭示了不同类型的随机噪声对模型性质的影响。.1.对于随机混合种群模型和随机时滞种群模型，分别发展了研究其存在唯一非边界平稳分布的新方法，弥补了现有方法的不足。.①随机混合种群模型非边界平稳分布的存在唯一性是近些年的研究热点。两种常见的研究该问题的方法——李雅普诺夫函数法和使用克雷洛夫-波戈留波夫定理法均有局限性：由于构造恰当的李雅普诺夫函数非常困难，对于多种群模型，前者往往仅能建立充分但远非必要的条件；后者仅能保证模型平稳分布的存在性，平稳分布的唯一性得不到保证。本项目发展了一种边界分析法，在一定条件下，对具有Leslie-Gower Holling II反应的随机混合捕食者-食饵模型和随机混合浮游植物-浮游动物模型得到了模型存在唯一的非边界平稳分布的临界条件。.②时滞在自然界中广泛存在，研究随机时滞种群模型的非边界平稳分布的存在唯一性受到了广泛关注。现有的研究方法需要使用模型解的全局吸引性，故需要附加条件。本项目发展了一种不需要附件上述条件的新方法，对随机时滞Lotka-Volterra(LV)捕食者-食饵模型和随机时滞LV竞争模型建立了模型存在唯一的非边界平稳分布的临界条件。.2.对几类随机种群模型，分别提出了研究其最优开发策略的新方法，为相应问题的研究开辟了新思路。.①对于随机混合种群模型和随机时滞种群模型，现有研究其最优开发问题的方法需要附加假设条件，如何去除这些假设条件成为研究热点。本项目发展了研究这两类模型最优开发问题的新方法，去除了原有附加假设条件，分别对随机时滞LV捕食者-食饵模型和随机混合LV互惠模型得到了模型的最优开发策略。.②物种生长的环境往往随着时间周期波动，周期环境下的随机种群模型更加符合实际。但对于该类型模型，研究自治的随机种群模型最优开发策略的经典方法不再适用：该类模型的解没有齐次性，而齐次性在自治的随机种群模型最优开发策略的研究中起到了至关重要的作用。本项目以模型的周期解为桥梁，对周期环境下的随机Gompertz模型和随机LV模型得到了模型的最优开发策略。.3.自然界中的因素多种多样，如脉冲、剧烈的随机扰动等，研究这些因素对种群生长的影响至关重要。本项目同时考虑多种因素，建立了若干随机种群模型并研究了其持久性和灭绝性，揭示了不同因素对模型上述性质的影响。