函数型回归模型单指标结构检验：一种模型自适应方法

In this data times, chances come with challenges for statisticians. Large scale data with complex structure have been widely collected and studied. One typical example is functional data. Most of the existing research on functional data analysis have been focused on model estimation, but little has been done on hypothesis testing. This project aims to propose methods to do model checking for two general types of functional regression models. Two model adaptive test statistics are constructed to do model checking on the single-index structure. We focus on the following problems: (1) For general functional regression models with scalar response and functional independent variable, we propose an approach to do model checking on single-index structure, which is based on sufficient dimension reduction technique and local smoothing test method. This method is adaptive to models under the null and alternative hypothesis, and also with power enhancement property. The limiting properties of the proposed test statistic are studied; (2) For general functional regression models with both functional response and independent variable, we construct another model adaptive test statistic and study its limiting properties under the null and alternative hypothesis. This test procedure is based on the sufficient dimension reduction technique and the integrated conditional moment test, which is also a power enhancement test; (3) In the application, we propose to analyze the spectra data of traditional Chinese medicine and the PM2.5 concentration data in China from functional data analysis perspective. Appropriate functional models are built based on the conclusion of model checking.

数据时代的到来给统计分析方法带来了机遇和挑战，以函数型数据为代表的一类复杂数据在理论研究和应用中受到广泛关注。目前对函数型数据分析的研究多集中于建模估计，而很少研究假设检验。本项目将主要研究两类函数型回归模型的模型检验问题，构造具有自适应性的检验统计量，检验模型是否具有单指标结构。我们将重点研究以下问题：（1）针对响应变量是标量，自变量是函数的一般函数型模型，利用函数型充分降维方法，基于局部光滑检验统计量，提出一种具有模型自适应性并能增强功效的检验，研究检验统计量的理论性质；（2）针对响应变量和自变量都是函数的一般函数型模型，基于充分降维和积分条件矩检验的方法，构造检验统计量，进行模型单指标结构检验，并研究检验统计量在零假设和备择假设下的极限性质；（3）在应用方面，我们从函数型数据的观点出发，分析中药光谱数据和PM2.5浓度数据，根据模型检验结果建立函数型模型，为实际分析提供支持。

数据时代的到来给统计分析方法带来了机遇和挑战，以函数型数据为代表的一类复杂数据 在理论研究和应用中受到广泛关注。目前对函数型数据分析的研究多集中于建模估计，而很少研究假设检验。本项目主要研究了两类函数型回归模型的模型检验问题，检验模型是否具有单指标结构。我们主要研究了：（1）响应变量是标量，自变量是函数的一般函数型模型的模型检验；（2）针对响应变量和自变量都是函数的一般函数型模型，构造检验统计量，进行模型单指标结构检验，并研究检验统计量在零假设和备择假设下的极限性质。特别的，对于函数型线性模型，我们提出了一种基于残差标记的经验过程检验方法。该方法是基于投影的，可以很好地避免维数诅咒，并且这一检验对全局备择假设是omnibus的。我们推导了这一检验统计量在零假设和备择假设下的极限分布。为了减少临界值确定的计算量，研究中，项目组采用了非参数蒙特卡罗方法来近似临界值，并应用于实际数据分析。我们还将这一方法拓展至一般的函数型单指标模型。（3）在应用方面，对于人体工学数据集，我们采用项目所提的模型检验方法对所选模型进行检验，对拟合结果进行残差诊断，从而选择合适模型并提供统计证据的支持。另外，在项目研究中，我们从函数型数据的观点出发，分析中药光谱数据和PM2.5浓度数据。考虑函数型数据的异常诊断问题，以及对PM2.5数据的建模和预测。作为拓展研究，我们还使用函数型可加模型分析人口寿命数据，并进行变量选择，为实际数据分析提供支持。