保形网格及其计算

Anisotropic Meshes are widely used in computer graphics and numerical simulation due to its effective representation of anisotropic features. However, given a freeform surface, designing the metric to obtain a desirable anisotropy is not fuly understood. We will show that the shape-preserving property of meshes is important for better rendering in computer graphics and higher precision in numerical simulation. To generate meshes with shape-preserving property, we design a metric and show how it leads to a shape-preserving mesh. Given a surface equipped with a metric, we should compute an anisotropic mesh that conforms to the metric. State-of-the-art methods computing anisotropic meshes rely on the computation of Voronoi structures, which is expensive and cumbersome. We propose a particle-kernel based approach to computing an anisotropic mesh conforming the metric. In the new approach, we specify a Gaussian kernel on each sample and use their weighted sum as an approximation of the given metric. The error of the approximation is minimized, thus leading to a good distribution of point samples. Compared with methods based on Voronoi structure, the new approach does not depend on the computation of Voronoi tessellation and therefore can avoid the expensive computation of anisotropic Voronoi tessellation.

在计算机图形学与数值模拟中，各向异性的网格因能有效地表达各向异性的特征，得到广泛的应用。在本项目中，我们拟指出各向异性网格的保形性质的重要性。保形网格可以生成更逼真的绘制效果；而在数值模拟中，保形网格可以提供更高的逼近阶。 为生成给定曲面的保形网格，我们拟在曲面上设计一个度量场并证明这个度量场恰好对应着保形网格。得到这样一个具有度量场的曲面后，我们需要生成其对应的保形网格表达。目前计算各向异性网格最先进的算法依赖于Voronoi图的计算。而计算各向异性的Voronoi图非常耗时。我们提出一套基于粒子核的算法来生成保形网格。在新方法中，我们在每一个采样点上定义一个Gaussian核，用这些Gaussian核的加权平均来逼近给定的度量。极小化这一逼近误差会优化采样点集的分布。与现有的依赖Voronoi图的方法相比，这一新方法不需要计算Voronoi图，从而提供了一个快速稳定的各向异性网格的生成

在计算机图形学与数值模拟中，各向异性的网格因能有效地表达各向异性的特征，得到广泛的应用, 比如在流体力学的模拟计算中。在本项目中，我们指出了各向异性网格的保形性质的重要性。保形网格可以生成更逼真的绘制效果；而在数值模拟中，保形网格可以提供更高的逼近阶。 .为生成给定曲面的保形网格，我们在曲面上设计一个度量场并证明这个度量场恰好对应着保形网格。得到这样一个具有度量场的曲面后，我们进一步生成了其对应的保形网格。目前计算各向异性网格最先进的算法依赖于Voronoi图的计算。而计算各向异性的Voronoi图非常耗时。我们提出一套基于粒子核的算法来生成保形网格。在新方法中，我们在每一个采样点上定义一个Gaussian核，用这些Gaussian核的加权平均来逼近给定的度量。极小化这一逼近误差会优化采样点集的分布。与现有的依赖Voronoi图的方法相比，这一新方法不需要计算Voronoi图，从而提供了一个快速稳定的各向异性网格的生成。..围绕这个项目的主题，我们还开展了一系列关于各项异性的网格的理论、算法和应用的基础研究。其中包括各项异性网格对曲面微分量计算的影响，各项异性的六边形网格在建筑设计中的应用，这类网格极其微分量在曲面造型中的应用，等等。这些成果大多发表在图形学领域的顶级杂志或会议，如SIGGRAPH，ACM Transactions on Graphics， IEEE TVCG, 等等。