反射群的 Kazhdan-Lusztig 表示理论

刻画仿射Weyl群的胞腔并构造相应Hecke代数的胞腔表示是KL理论的核心课题。本项目要刻画型C、E二族仿射Weyl群的胞腔和一般仿射Weyl群的次低双边胞腔里的左胞腔。在此基础上研究Lusztig的连通性猜想和左胞腔数猜想及时俭益的独异对合元猜想。要在多参数情形下研究有限和仿射Weyl群的胞腔结构和相应Hecke代数的胞腔表示， 研究Lusztig的相关猜想，在某些低秩情形下给出这些群的胞腔的明显刻画， 回答Lusztig等人所提出的有关问题。复反射群及其分圆Hecke代数的表示理论对于简约代数群的诱导表示分解有重要意义。本项目拟通过明显刻画复反射群的反射序；弄清参数选取对分圆Hecke代数半单性的影响；建立分圆Hecke代数与某种Iwahori-Hecke代数的联系；由此构造出分圆Hecke代数的类似于Coxeter群KL理论的表示并用于研究相应简约代数群的表示。

本项目组研究反射群的卡茨当-罗斯蒂克表示理论，反射群包括实反射群（即考克斯特群）和复反射群。外尔群和仿射外尔群是项目组重点研究的考克斯特群，按照等参数和多参数二种情形分别刻画它们的胞腔及其提供的相应黑克代数的胞腔表示。 在等参数的情形下，对于仿射外尔群的双边胞腔设计出了寻找其左胞腔代表元系的一种新算法。刻画了 E_8 型仿射外尔群的 a 值等于 5、 6 的所有左胞腔。对于任何不可约仿射外尔群的次低双边胞腔，证明其所含左胞腔的个数小于或等于相应外尔群阶数的一半，猜测这两个数应该相等，该猜测在某些特殊情形已被证实。证明了 E_6 型外尔群的所有左胞腔都左连通。在多参数情形下系统深入地研究考克斯特群的卡茨当-罗斯蒂克多项式 p_{x,y} 和劳伦多项式 M^s_{x,y} 的性质，推广了单参数情形下的相应结果。在拟分裂情形下系统深入地研究了 C、B 型仿射外尔群的胞腔，若干族左胞腔的精确计数公式并证明其左连通性。给出非本原复反射群 G(m,m,n) 里任二元素之间存在反射序关系的充要条件。对于对称群 里的任何给定元素 z，给出计算在反射序下大于或等于 z 的元素集合的基数的一个精确公式。研究具有严格完全考克斯特图的考克斯特群的元素的简约表达式集合的结构，并导出该集合基数的精确公式。