Jacobi形式的Kohnen plus空间及其应用

The applicant wants to research the Kohnen plus space for Jacobi forms of half-integral weight..Plus space is a space consisting of modular forms of half-integral weight whose Fourier coefficients satisfy some restriction. It was originally defined by Kohnen, who was inspired by a special modular form of half-integral weight defined by Cohen. Comparing to the whole space of half-integral-weight modular forms, plus space is easier to treat and possesses more beautiful properties. And because it is isomorphic to many other spaces of modular forms, researches on it will promote the developments in the field of automorphic forms. Also, there are quiet a few applications in fields like analytic number theory for the modular forms in the plus space, such as the ones constructed by Cohen, which was recently generalized by the applicant to the case corresponding to a general totally real field..This project will be focusing on the plus space for Jacobi forms, investigating its properties and applications. This is a relatively new field, so there is a lack of references. The applicant wants to construct a systematic methodology for researches on it and describe its isomorphic relations between other spaces essentially and clearly, then apply it to the calculations of the Fourier coefficients of Siegel modular forms.

申请人想研究的是半整数权的Jacobi形式的Kohnen plus空间。.Plus空间是由傅里叶系数满足某性质的半整数权的模形式所组成的空间。它最早由Kohnen定义，灵感来自Cohen所定义的一种特殊的半整数权的模形式。Plus空间比起半整数模形式的全空间，更易于研究且有更漂亮的性质。又因其和其他许多模形式的空间之间存在着这同构关系，因此对它的研究将能促进自守式领域的发展。而且plus空间中的模形式在解析数论等领域也有相当多的应用，Cohen所创造的模形式即为一例，这种模形式最近被申请人推广到对应于一般全实域的情形。.本项目想进行的，即是考虑对应于Jacobi形式的plus空间，研究其性质和应用。这是一个相对新颖的领域，相关文献较少。申请人想通过表示论的角度，建立一套对其系统性的研究方法，且从本质上清楚描述它和其他空间的同构关系，然后应用到Siegel模形式的傅里叶系数的计算上。

在2018年，Hayashida定义了半整数权和特定矩阵指数的Siegel-Jacobi形式的plus空间。这个空间是由关于在其中的Siegel-Jacobi形式的傅里叶系数的某限制条件所定义的。Hayashida接着证明了plus空间和有着整数权和特定矩阵指数的Siegel-Jacobi形式的空间是同构的，且根据它所构造出的线性同构映射，两边的Hecke算子是可以比较的。.在本项目中，我们将Hayashida的结论推广到了半整数权和矩阵指数的Hilnert-Siegel-Jacobi形式。我们再次定义了plus空间且证明了这个空间和有着整数权和特定矩阵指数的Hilbert-Siegel-Jacobi形式的空间是线性同构的，且通过自然的线性映射，两个空间的Hecke算子是可比较的。和Hayashida的工作不同的是，我们的结果基本上是通过表示理论推导出来的。我们的成果给出了一个判别Hilbert-Siegel-Jacobi形式在plus空间中的关于表示论的等价条件，而不是根据傅里叶系数的条件去判别。.以上陈述的结果表明了半整数权的Hilbert-Siegel-Jacobi形式的plus空间和整数权的Hilbert-Siegel-Jacobi形式的空间非常相似。所以如果我们对两个空间的其中之一做进一步的研究，便可期待能够获得关于另一个空间的相对应的信息。这让我们在探讨半整数权和整数权的Jacobi形式的空间上有了更多的自由度。且由于主Jacobi形式的傅里叶系数一般包含了数论函数或L函数的特殊值，所以我们相信我们的成果有被应用在古典数论上的潜力。