非完整约束系统的 Hamilton-Jacobi 理论及其应用

Contents: 1) Calculus of varaitions is used to construct the non-horizontal Hamilton-Jacobi equation for nonholonomic systems and to establish the Hamilton-Jacobi theorem for integrating the non-homogenous Hamilton's equations of the systems. By means of some symplectic-preserving canonical transformations whose transformed Hamiltonian is identicall null and theory of Dirac constraint, the Birkhoff-Hamilton-Jacobi equation and Dirac-Hamilton-Jacobi equation are respectively derived, whose complete integrals can be found out. Generalized Hamilton-Jacobi theorem is utilized to integrate Birkhoff's equations. Lagrangian submanifolds of fibred constraint manifolds are made up, whose transversality to fibres is discussed with the help of connection theory. The Hamilton-Jacobi theorem for nonholonomic systems is generalized and proved geometrically. Lagrangian submanifolds of a general symplectic manifold are constructed, on which the Birkhoff-Hamilton-Jacobi vector fields are represented exactly and locally. 4) The geometric numerical integration of Hamilton-Jacobi equation for nonholonomic systems is investigated making use of generating functions, togother with the geometric numerical integrator and variational self-adjoint theory of the Birkhoff-Hamilton-Jacobi equation..Meaning: 1) Hamilton-Jacobi theorem will be generalized, to be applied to integrate non-canonical Hamilton's equations of nonholonomic systems and Birkhoff's equations. 2) Lagrangian submanifolds and connection theory are taken as the geometric foundation of Hamilton-Jacobi theory for nonholonomic systems. 3) The generating function method will be improved to be applicable to the geometric numerical integration of Birkhoff-Hamilton-Jacobi equation for nonholonomic systems.

研究内容：1）运用变分法构造非完整系统非水平的H-J方程，建立非完整系统的H-J定理，积分非完整系统哈密顿方程。2）运用化零保辛类正则变换和奇异哈密顿系统的狄拉克约束理论，分别构造B-H-J方程和D-H-J方程并求解其完全积分，利用广义H-J定理，积分伯克霍夫方程。3）构造非完整系统纤维化的约束流形的拉格朗日子流形，运用联络理论研究其与纤维空间的横向关系，推广和证明非完整系统的H-J定理；构造一般辛流形的拉格朗日子流形及其上的B-H-J向量场的局部恰当实现。4）利用生成函数法研究非完整系统的H-J方程的几何数值积分问题，构造数值积分子和B-H-J方程的变分自伴随理论。研究意义：1）推广H-J定理和积分非完整系统哈密顿方程和伯克霍夫方程的H-J方法。2) 以拉格朗日子流形理论和联络理论构建非完整系统H-J理论的几何基础。3）完善生成函数法研究非完整系统的B-H-J方程的几何数值积分问题。

研究背景：经典动力学的哈密顿-雅克比理论不能简单地当成哈密顿方程的积分方法，而是与拉格朗日力学、哈密顿力学互补的、有深刻内涵和重要应用的动力学形式。虽然哈密顿-雅克比理论及应用经历了较长时间的发展，但是哈密顿-雅克比理论在解析与数值分析方面仍然在不断地发展并具有独特的物理和力学应用。.研究内容及重要结果：（1）给出了一种基于Frobenius定理的哈密顿-雅克比方法的几何解释，并在此基础上将哈密顿-雅克比方法推广应用于一类特殊的非保守系统中。（2）关于非完整约束系统的哈密顿-雅克比理论及其应用研究，主要研究了非完整系统的准正则化问题以及在此基础上构造非完整系统的哈密顿-雅克比理论。（3）关于非保守力学系统的广义哈密顿-雅克比理论及其几何结构研究，并将其应用于非保守力学系统的求解问题。（4）关于与哈密顿-雅克比方法类似的场积分方法的改进，并将其应用于线性非完整约束系统的积分问题中。（5）关于初始运动方法在约束力学系统求解及平衡稳定性的研究，实现了完整和非完整力学系统的初始运动方法求解，并将其应用于非完整系统的平衡稳定性研究。（6）在非完整系统的保自伴随算法方面的研究，针对非完整动力学系统的几何和代数结构，提出了保自伴随算法，并将其应用于非完整约束力学系统的数值求解问题。（7）关于非标准哈密顿函数的哈密顿方程及其非线性和控制特性研究，通过解析求解一些具有非标准哈密顿函数的非线性动力学系统的实例，获得了这些特殊非线性系统的一些特殊性质。.研究意义：对哈密顿-雅克比理论及其几何结构的研究，为拓展哈密顿-雅克比定理和积分运动微分方程提供了几何基础，推广了哈密顿-雅克比定理和积分非保守系统、非完整系统哈密顿方程的哈密顿-雅克比方法，为求解非保守系统和非完整约束系统运动方程提供了新途径，该研究还有助于构造保自伴随数值积分子和变分自伴随理论，完善生成函数法研究非完整约束系统的几何数值积分问题。.