Heisenberg群上的Moser-Trudinger型不等式及其在次椭圆问题中的应用

Due to the wide range of applications in partial defferential equations, geometric analysis and String theory, Moser-Trudinger type inequalities become one of the focus in the field of Functional analysis. In this project, we will be concerned with the study of the Moser Trudinger type inequalities on Heisenberg group and the related applications in Subelliptic problems..Since the existence of the ground state solutions to the subelliptic problems with critical exponential growth can not be obtained by the existing Moser-Trudinger inequalities on Heisenberg group, we will study the improved versions of these Moser-Trudinger inequalities, namely, the related Concentration Compactness principle and the Moser-Trudinger inequality with exact growth on the Heisenberg group, furthermore, we will apply the Variational method and Critical point theory to investigate the existence of the ground state solutions..The innovations are as follows: 1) Establishing the Talenti type comparison principle on the Heisenberg group, and use it to prove Moser-Trudinger type inequalities; 2) Generalizing the existence theory for ground state solutions to the elliptic problems in Euclidean space to the Subelliptic setting..This project will help to reveal the general rules for the studying of Moser-Trudinger inequalities on Heisenberg group, and provide the essential theoretical basis for the further study of related subelliptic equations.

M-T (Moser Trudinger)不等式在偏微分方程、几何分析以及弦理论的研究中有着广泛的应用，是泛函分析领域的研究热点之一。本项目将重点关注Heisenberg群上M-T不等式的研究及其在次椭圆问题中的应用。.由于利用Heisenberg群上现有的M-T不等式不能得到具有指数临界增长的次椭圆问题基态解的存在性，本项目将对现有的M-T不等式进行改进，即，将研究Heisenberg群上与M-T不等式相关的集中紧性原理和具有精确增长的M-T不等式，此外，将结合变分法和临界点理论研究基态解的存在性等问题。.项目创新之处是：1) 在Heisenberg群上建立Talenti型比较原理，并用于研究M-T不等式；2) 将欧氏空间上椭圆问题基态解的存在性理论发展到次椭圆情形。.本项目的研究将有助于揭示Heisenberg群上M-T型不等式研究的一般规律，为相关次椭圆问题的进一步研究提供理论依据。

具有指数临界增长的椭圆方程与电磁学、天文学和流体动力学等学科有着密切的联系，关于其的研究具有重要科学意义。本项目主要是使用变分法以及临界点理论的相关工具研究了Sobolev嵌入的边缘情形—Trudinger-Moser-Adams不等式相关问题以及极值函数存在性，并利用Trudinger-Moser不等式讨论Heisenberg群上以及欧式空间上具有指数临界增长的方程解的存在性。 具体说来，本项目主要做了以下几方面的工作.1..建立了Heisenberg群上上与Moser-Trudinger不等式相关的集中紧性原理，并利用该集中紧性原理用讨论一类具有指数临界增长的次椭圆问题基态解的存在性问题。.2..讨论了一类具有不连续系数的次椭圆方程组的正则性。我们证明了当系数不连续时，且非线性满足超二次可控增长条件时，方程解的不光滑点是一个零测度集。.3..研究了二阶四维情形Adams不等式的极值函数的存在性和不存在性，并证明了若极值函数存在，则一定是径向对称的。该研究表明Adams泛函极值函数的存在性非常依赖于Adams泛函被积函数的第一项系数，此项研究完整的解决了一个超10年的公开问题；.4..研究了一类有界区域上具有多项式临界增长的双拉普拉斯方程的多解性.5..研究了全空间上一类含有常位势或势阱位势的具有指数临界增长的双拉普拉斯方程非平凡解或基态解的存在性，该研究将已有的半经典问题做到了一般情形。在该研究中，我们得到了一个函数列紧的充分必要条件。.6..研究了全空间上的一类改进型Trudinger-Moser 不等式及其极值函数问题，与已有的结果相比较，我们的结果更精确且更加普遍。.7..得到了全空间上在Lorentz范数约束下的与Trudinger-Moser不等式相关的集中紧性原理.8..得到了一类加权的具有指数临界增长的N拉普拉斯方程非平凡正解的存在性，并得到了这类方程解的衰减估计.9..证明了具有非局部项和部分约束的位势的偏微分方程组的轨道稳定和解的存在性，研究表明在L2约束下的对应泛函有全局最小点