数据同化及其在反问题中的应用

This project aims at the applications of data assimilation into inverse problems and parameter identification of complex system. In both types of problems, we regard the unknown variables and observational data as random variables and transform the problems into the realization problems of posterior distribution. For solving ill-posed problems, some stochastic dynamical systems are constructed and variation assimilation and ensemble Kalman filter are applied to identify the system state. We focus on the error analysis in mean square and the characterization of confidence level of approximation solution. For parameter identification of complex system, we pay more attention on the application of data assimilation and the acceleration algorithm. The studies for inverse problems in this project are of importance, especially that transforming ill-posed problems into system parameter identification problems and that theoretical analysis on error, which not only widespread the research of theory and computation in inverse problems, but also promote the applications of data assimilation.

本项目讨论数据同化方法在反问题和复杂系统的参数识别中的应用。在这两类问题中，我们均将未知量和观测数据看作随机变量，进而利用统计观点将问题转化为后验分布的实现问题。对于不适定问题，本项目将不适定算子方程的求解转化为随机动力系统的状态识别问题，进而采用变分和集合Kalman滤波等同化方法进行求解，并重点讨论均方意义下集合Kalman滤波的收敛性以及逼近解的可信度的刻画问题。对复杂系统的参数识别问题，重点考虑同化方法的应用以及加速问题。该项目将不适定问题转化为参数识别问题以及其误差分析的理论研究，在反问题的研究中具有重要意义，它不仅拓宽反问题的理论和计算研究，而且推广了数据同化方法的应用。

数据同化广泛应用于天气预报、油藏储运等问题，基于它的相关算法备受国内外反问题研究者的青睐。项目首先着手考虑采用集合Kalman滤波算法处理线性不适定问题，给出相应的收敛性分析，进而将相应的算法推广至处理一类特殊的非线性不适定算子方程。在相关的研究中，我们发现抽样算法加速的必要性，于是着手探讨了基于多项式混沌展开替代模型的加速算法，该方法将q-超几何级数中的相关思想应用于处理Bayes逆问题，并给出了收敛性分析。最后，我们考虑将统计推断算法与经典的扩展抽样算法相结合，并应用于求解声波障碍散射问题，对该问题相应的后验分布的适定性给出严格论证。