导出范畴粘合及导出合成列的研究

The notion of recollements introduced by Beilinson, Bernstein, and Deligne in the construction of perverse sheaves is a powerful tool for studying triangulated categories. Recollements have played a huge role in reducing homological conjectures and computing homological invariants. Roughly speaking, a recollement can be viewed as a short exact sequence of triangulated categories, which decomposes a triangulated category into two relatively simple ones. For a given recollement of derived module categories, we can take recollements of its outer terms and recollements of their outer terms and so forth until we reach derived simple categories. We use a binary tree to record the forementioned iteration process and name it by derived composition series. Analogous to composition series of groups and modules, determining the derived simple algebras and exploring the Jordan-Hölder property of derived categories is a basic problem in the study of derived composition series. In recent years, a lot of progress has been made in this field, this project aims to explore how derived composition series determine algebras. In more detail, this project focuses on the following three problems: 1. Characterizing quasi-hereditary algebras by their derived composition series; 2. Classifying quasi-hereditary algebras with three simple modules; 3. Investigating whether recollement preserves virtual Gorenstein property of algebras.

由Beilinson、Bernstein和Deligne在构造奇异空间反常层时引入的粘合是研究三角范畴的强有力工具。三角范畴粘合在约化同调猜想和计算同调不变量方面发挥了巨大作用。粗略地说，三角范畴粘合可以视为三角范畴的短正合列，它可以将复杂的三角范畴“分解”为两个结构相对简单的三角范畴。导出合成列是记录通过三角粘合不断分解导出模范畴的过程的二叉树。类比群和模的合成列，确定导出单代数和探索导出范畴层面的Jordan-Hölder性质是导出合成列研究的一个基本问题。近年来这方面的研究取得了很多进展，本项目拟探索导出合成列是如何决定代数的。具体来讲本项目拟研究以下三个问题：1.通过导出合成列刻画拟遗传代数；2.分类具有3个单模类的拟遗传代数；3.研究导出范畴粘合是否保持代数的virtually Gorenstein性质。

导出范畴是由Grothendieck在上个世纪60年代引入的。他的主要目的之一是为了推广Serre对偶定理。现在导出范畴成为了研究代数几何和代数表示理论等数学分支的重要工具。为了建立导出范畴的公理化体系，Grothendieck和Verdier引入了三角范畴的概念。三角范畴是一种非常复杂的结构。由Beilinson、Bernstein和 Deligne在研究奇异空间反常层时引入的三角范畴的粘合是研究三角范畴的强有力工具。粗略地说，三角范畴黏合可以实现将一个复杂三角范畴分解为两个相对简单的三角范畴。粘合在约化同调猜想和计算同调不变量方面发挥了巨大作用。Gorenstein代数和Gorenstein投射模是代数表示理论中非常重要的研究对象，它们的概念可以追溯到Auslander和Bridger在1969年的工作。从那时起，它们在相对同调代数理论的研究中就处于中心地位。Virtually Gorenstein代数是Gorenstein代数的自然推广，这类代数具有非常丰富的同调结构并且具有导出等价和Morita型稳定等价不变性。秦永云和韩阳引入三角范畴n-黏合的概念，研究了导出范畴n-黏合与代数Gorenstein性质之间的关系，利用相关结果将Gorenstein对称猜想约化到2-导出单代数的情况。受他们的工作的启发，我们研究了Gorenstein投射模稳定范畴的n-黏合与代数virtual Gorenstein性质之间的关系。得到如下结果：设A、B和C是有限维代数，如果存在一个代数A的Gorenstein投射模稳定范畴的关于代数B 和代数C 的Gorenstein投射模稳定范畴的n-黏合 (n≥2)，则A是virtually Gorenstein代数的当且仅当B，C也是virtually Gorenstein代数。我们还利用胡维和潘升勇关于稳定函子的研究成果研究了导出范畴的n-黏合与代数virtually Gorenstein性质的关系。得到结果如下：如果存在一个代数A的无界导出范畴关于代数B和代数C的无界导出范畴的n-黏合(n≥6)，则A是virtually Gorenstein代数当且仅当B和C也是Virtually Gorenstein代数。利用该结果可以重新得到到处等价保持代数virtual Gorenstein性质。