非线性特征值问题的高性能谱方法研究

特征值问题有着广泛的应用价值，是众多学科领域的基本方法和工具。晶体电子结构及密度泛函理论等的第一原理计算都归结为一个非线性偏微分方程特征值问题。与非线性偏微分方程的定解问题相比，特征值问题是一种特殊的非线性问题，它的处理要复杂得多。传统数值方法大多沿袭定解问题的思路，把困难过多地留给了代数特征值的求解。本项目围绕非线性偏微分方程和积分方程的特征值问题，充分利用谱和谱元方法在精度和相空间上的优势，开展保持问题物理特性的高性能计算方法研究。包括发展典型区域单元上的二阶偏微分算子特征分析的新方法和新工具，构造保持问题物理特性的高性能谱和谱元方法离散格式，探讨离散矩阵特征值问题预变换求解方法。其研究成果不仅可以满足相应物理问题的数值模拟迫切的实际应用需求，还可以在科学与工程计算诸多领域有广泛的应用，具有明确的实际应用前景。

本项目围绕偏微分方程的特征值问题，充分利用谱和谱元方法的各种优势，开展的高性能计算方法研究。发展典型区域单元上的二阶偏微分算子特征分析的新方法和新工具；在充分考虑特征函数的波动性与特征值的粒子性的前提下，构造的高性能谱和谱元方法离散格式，探讨离散矩阵特征值问题快速求解算法。具体研究成果表现在以下方面：(1). 通过整理方形区域微分方程定解问题的经典谱方法的一系列研究成果，建立了Laplace算子与二阶椭圆型算子特征值问题的Galerkin谱方法的算法与理论，特别是通过对伪解与谱收敛解并存现象的分析，得出了Galerkin谱方法的可信赖（可放心使用）的特征值数量与全部计算特征值总量的比值为2/pi这一重要结论, 揭示了谱方法在特征值问题求解上的先天优势。(2). 发展了任意球体上的多项式逼近，建立任意球体上的Laplace特征值问题的Galerkin多项式谱方法，重点建立了二维圆盘与三维球体上传输特征值问题的多项式谱方法，发展了其在常、变系数情况下的高效逼近格式、其快速求解算法与收敛性理论。(3). 对比研究了任意三角形上Laplace特征值问题各类数值方法，重点研发展了Stokes特征值问题的三角谱元方法，首次得到了散度算子的三角谱元离散Inf-Sup常数的最佳估计，得出了特征值与特征函数的最佳误差估计的证明，形成了三角谱元与四面体谱元研究的新工具与新方法。(4). 提出了广义椭球波函数的概念，解决了满足特定边界条件的椭球波基函数在构造上的难题；设计了特征值问题求解的椭球波函数谱方法，使得其可信特征值的比例达到90%以上。(5). 此外，项目组还在广义三角多项式及其特征值问题研究，六边形快速傅立叶变换与六边形谱方法的高性能并行算法及应用研究以及大腔体、高波数电磁散射问题的谱方法等方面取得了一系列研究成果。