非线性特征值问题的高精度有限元方法

Material science and life science have become an important part of national economic construction, national defense construction and people's lives. They are not only closely related to people's daily life, but also to the modernization of national defense and industrial development. The basic research of material science and life science depends on the exploration of molecular electronic system, which is inseparable from the development of quantum chemistry theory. Nonlinear eigenvalue problems, which are closely related to quantum chemistry, have important practical value and significance. In this project, the high-order finite element method is used to solve the nonlinear eigenvalue problems in quantum chemistry. We construct finite element methods under complex singularity conditions, design high-precision finite element scheme, and derive the convergence analysis. Combining with numerical acceleration techniques such as multi-grid method and adaptive method, the efficiency of solving the problem is improved. A parallel format is designed to realize large-scale, high-efficiency and high-precision numerical simulation of nonlinear eigenvalue problems by a large parallel computer.

如今材料科学和生命科学已成为国民经济建设、国防建设和人民生活的重要组成部分，不仅与人民日常生活息息相关，更关系着我国国防现代化和工业发展等关键问题。材料科学和生命科学的基础研究依赖于对分子电子体系的探索，离不开量子化学理论的发展。非线性特征值问题作为与量子化学领域密切相关的重要问题，具有重要的实用价值和现实意义。本项目拟利用高阶有限元方法数值求解量子化学中的非线性特征值问题，构造适合复杂奇性条件的有限元方法，设计高精度有限元格式，并给出相应的收敛性分析。结合多重网格法，自适应方法等数值加速技巧，提高求解效率。设计并行格式，通过大型并行机实现对非线性特征值问题的大规模高效高精度数值模拟。

材料科学是突破制约我国工业可持续发展的关键所在。在该领域的基础研究中，量子物理和量子化学的发展扮演着举足轻重的角色。随着学科交叉融合的深入，量子物理和量子化学中的数值模拟方法必将发挥更加重要的作用。量子物理和量子化学数值模拟的核心问题即为设计偏微分方程特征值问题的高精度数值方法。本项目对求解偏微分方程特征值问题的非标准有限元方法以及深度学习方法进行探索，主要关注非标准有限元方法数值格式的设计与改进，构造了特征值下界计算方法，并证明了渐近下界和保下界性质。基于弱有限元方法得到了特征值的高精度下界逼近。该方法的主要优势在于高次元易于构造，格式比较灵活，可以适用于一般的多边形或多面体网格等，能够更好地实现量子物理和量子化学中的大规模非线性特征值问题计算。