Lp-空间中含参数几何体的若干问题研究

The study of geometric bodies with a parameter is a new class of research object for convex geometric analysis in Lp-space. Over the past decade, research on convex geometric analysis in Lp-space is an active and hot field with rapid development. Convex geometric analysis belongs to the Lp-Brunn-Minkowski theory and it is an interdiscipline subject of convex geometry and Banach's geometry. In this project, several problems on geometric bodies with a parameter in Lp-space would be researched by applying the integral transformation, functional analysis theory, Lp-Brunn-Minkowski theory and its dual theory, valuation theory and asymptotic theory of Banach space geometry. These problems mainly include the folowing aspects: 1) Extreme problems of geometric bodies with a parameter in Lp-space; 2) Shephard problems （Busemann-Petty problems） of geometric bodies with a parameter in Lp-space; 3）Lp-affine surface areas and Lp-geominimal syrface areas of geometric bodies with a parameter in Lp-space；4) Geometric bodies with a parameter in Lp-space and valuations. The research on these problems will not only enrich and broaden the Lp-Brunn-Minkowski theory and its dual theory but also provide a higher and more uniform perspective on convex geometric problems.

Lp-空间中含参数几何体的研究是Lp-空间中凸几何分析的一类新的研究内容。Lp-空间中的凸几何分析是近十几年来国际上十分活跃且发展非常迅速的凸几何学和Banach空间几何学的一个交叉领域，它隶属于Lp-Brunn-Minkowski理论。本项目运用积分变换、泛函分析理论、Lp-Brunn-Minkowski理论及其对偶理论、赋值理论和Banach空间几何学的渐近理论中的基本思想和方法，去研究Lp-空间中含参数几何体的若干问题。主要包括：1）Lp-空间中含参数几何体的极值问题；2）Lp-空间中含参数几何体的Shephard问题（Busemann-Petty问题）；3）Lp-空间中含参数几何体的Lp-仿射表面积和Lp-几何表面积；4）Lp-空间中含参数几何体与赋值。这些研究不仅能丰富和拓广Lp-Brunn-Minkowski理论及其对偶理论，而且可以使我们以更高、更统一的观点来看待凸几何问题。

本项目运用积分变换、泛函分析理论、Lp-Brunn-Minkowski理论及其对偶理论、赋值理论和渐近理论的基本思想和方法，研究了Lp-空间中含参数几何体的若干问题。本项目系统地给出了Lp-空间中含参数几何体的极值问题；作为Lp-空间中含参数几何体的应用，引入并研究了相应的含参数Lp-弦、含参数Lp-亮度和含参数Lp-对偶亮度积分；给出了Lp-空间中含参数几何体的Shephard问题（Busemann-Petty问题）的肯定和否定解，特别得到了相应对称Lp-几何体的Shephard问题（Busemann-Petty问题）的非对称否定解；建立了多重体的Lp-对偶混合仿射表面积和Lp-对偶混合几何表面积理论，特别给出了Lp-对偶混合几何表面积的积分表达式；得到了用特殊Lp-赋值----Lp-Brunn-Blaschke同态和Lp-径向Brunn-Blaschke同态刻化的若干几何不等式。这些成果丰富和完善了国际上近十年来发展十分迅速的非对称Lp-Brunn-Minkowski理论，具有很好的理论意义，有效地推动了凸几何分析的研究。