silting理论上的Bongartz引理研究

Tilting theory and covering theory have been playing an important role in the representation theory of finite dimensional algebras, silting theory is a generalization and complement of tilting theory. This project will focus on the study of the Bongartz lemma for silting objects and the covering theory of valued quivers.. For the first part, we mainly consider the following questions:.1. Is the Bongartz lemma also true for silting objects?.2. Study on the relationship between the derived categories of algebra A and the endomorphism algebra of a silting complex of A.. For the second part, we mainly consider the following questions:.1. How to characterize the universal covering for a valued quiver?.2. Given a covering between two valued quivers, will it induce a covering between the AR-quivers of the categories of representations of given valued quivers? What about derived categories of them? .3. Apply the covering technique to study the cluster categories of the Dynkin type (for instance, B_n and C_n) and the infinite Dynkin type.

倾斜理论以及covering理论在有限维代数的表示理论中都具有很重要的作用，silting理论是tilting理论的推广和完善。本项目主要包含两方面研究：silting理论上的Bongartz引理和赋值箭图的covering理论研究。. 关于第一部分，拟研究以下问题：.1. Bongartz引理对于silting对象是否成立？.2. 研究silting复形的自同态代数与原代数A的导出范畴之间的关系。. 关于第二部分，拟研究以下问题：.1. 给出关于赋值箭图的universal covering。.2. 赋值箭图的covering是否能引导它们的表示范畴的AR-箭图之间的covering，以及其导出范畴AR-箭图之间的covering？.3. 运用covering理论工具研究Dynkin型（例如：B_n，C_n）和无穷Dynkin型的cluster范畴。

该项目对三角范畴中的silting对象，赋值箭图（valued quiver）的covering理论以及bent函数和置换多项式进行了研究，主要得到以下结论：.1.如果有限维代数A为遗传的，那么其有界导出范畴中的任意presilting复形都是某个silting复形的直和项。.2.的有限维表示范畴到的有限维表示范畴可以构造push-down和pull-up函子，并且push-down和pull-up函子构成伴随对，证明了push-down函子是的有限维表示范畴到的有限维表示范畴的G-covering，利用该结论，得到了的有限维表示范畴的AR-箭图的描述。同时，为继续研究到的导出范畴以及cluster 范畴之间的covering 理论奠定了基础。.3. 确定了一般向量函数的最大bent分支数，并利用二元表示构造了很大一类这样的函数。引入了与二阶导数密切相关的性质P。该性质有助于高效地找到新的元素，从而达到构造出新bent函数的目的。引入了刻画Niho型置换多项式的算法。