三角范畴中的 silting 理论

The main object of this project is to study the silting theory in triangulated categories. Firstly, we will give equivalent characterizations for silting subcategories (objects) in triangulated categories from the point of the sequences of distinguishing triangles. Based on these results, the Bazzoni's characterizations and Auslander-Reiten correspondences for silting subcategories (objects) will be established. Secondly, we will introduce the notion of Gorenstein objects associated to a presilting subcategory in the category of homomorphisms of objects, prove the stable category of such Gorenstein objects is a triangulated category, and establish triangle equivalences related to this stable category. Finally, we will investigate the relationship between such Gorenstein objects and Gorenstein projective (injective) modules. As applications of the above triangle equivalences, more triangle equivalences with respect to Gorenstein projective (injective) modules will be obtained. The study of the project will play an important role in enriching and developing the silting theory in triangulated categories and the Gorenstein homological theory.

本项目拟研究三角范畴中的 silting 理论。首先，我们拟从好三角序列的角度给出三角范畴中 silting 子范畴 (对象) 的等价刻画。凭借此刻画，建立关于 silting 子范畴 (对象) 的 Bazzoni 刻画与 Auslander-Reiten 对应。其次，我们拟在三角范畴的对象的态射范畴中引入与一个预 silting 子范畴相关的 Gorenstein 对象，证明这种 Gorenstein 对象的稳定范畴是一个三角范畴，进而建立与之相关的三角等价。最后，我们探究这种 Gorenstein 对象和 Gorenstein 投射 (内射) 模之间的联系，作为上述三角等价的应用，得到更多关于 Gorenstein 投射 (内射) 模的三角等价。本项目的研究对于丰富和发展三角范畴中的 silting 理论以及 Gorenstein 同调理论具有重要的意义。

Silting理论是倾斜理论在三角范畴中的重要延续，它源于代数表示论中对三角范畴中t-结构的研究。Silting对象在投射模的有界同伦范畴中扮演的角色类似于倾斜模在模范畴中所扮演的角色。由于silting子范畴(对象)与各种三角范畴中的t-结构和余t-结构密切相关，人们可以从silting理论的角度更好地理解相关三角范畴的结构。近些年来，各种三角范畴中的silting理论受到了国内外学者们的好广泛关注。本项目进一步研究了一些三角范畴中的silting子范畴(对象)。首先，建立与一般三角范畴中silting子范畴相关的Auslander-Retein对应。作为应用，对silting复形做了分类，这一结果将一些学者的相关工作进行了改进。其次，建立了一般三角范畴中silting子范畴的Bazzoni刻画。作为应用，对一些学者的倾斜和silting复形的Bazzoni刻画进行了改进。再次，研究了与presilting子范畴相关的Gorenstein对象，并建立了与之相关的一些三角等价。例如，我们考虑了双完备阿贝尔范畴上的遗传twin余挠对。在这种特殊的情形下，证明了遗传的模型结构的同伦范畴三角等价于某个三角商范畴。作为推论，给出了一些稳定范畴的三角商形式的刻画。最后，我们还考虑了子因子三角范畴。这是一种重要的三角范畴，它可以帮助我们更好的理解突变理论，并且这种三角范畴不是代数型的也不是拓扑型的。我们证明了，当这个子因子三角范畴满足模去的子范畴是presilting时，子因子三角范畴具有代数三角范畴的结构。这就说明了，在这种情形下，子因子三角范畴也不是很陌生的研究对象。此外，在围绕上述三个主要方向进行研究的同时，我们还完成了一些附带的成果。例如，我们考虑了与twin余挠对相关的Tate同调理论。作为应用，解决了与Gorenstein平坦子范畴相关的A-M型正合序列的自然性问题。再如，在凝聚环上考虑了与Gorenstein内射模相关的稳定范畴的三角等价，对这种凝聚环上非常重要的三角结构做出了新的解释。上述结果均以论文的形式发表于国际重要的学术期刊上。截至目前，通过对本项目研究的开展，共发表SCI学术论文十余篇。