纽结理论与虚纽结理论中的一些问题

Knot theory studies the embeddings of a circle in the 3-dimensional Euclidean space, or equivalently the three sphere. Roughly speaking,virtual knot theory studies the embeddings of a circle in a thicked surface. Another motivation of introducing the virtual knot theory comes from the realization of Gauss diagram. In this research project we are going to study the properties of knots and virtual knots by investigating some knot invariants of them. 1. One of the most important problem in knot theory and virtual knot theory is to detect whether a pair of knots are equivalent. In particular in virtual knot theory we concern whether a given virtual knot is classical or not. We want to find some powerful invariants to make some progress on this topic. Meanwhile we wish these invariants can provide some information about the knot, such as a lower bound of the crossing number, or the chirality of the knot. 2. Just like the classical knot theory, virtual knot theory also can be studied with the viewpoint of braids. We want to study the virtual knot theory with this viewpoint systematically. For example the representations of the virtual braid group, and quantum invariant and quandle invariant. 3. Finally the relation and application of virtual knot theory to classical knot theory will be discussed. It is possible to find some invariants of classical knots from the viewpoint of virtual knot. Or by studying virtual knots, we want to make some progress on some unsolved problems in classical knot theory.

纽结理论主要研究圆周在三维球面中的不同嵌入，类似的，虚纽结理论主要研究圆周在加厚的曲面中的不同嵌入。除此之外，虚纽结理论也与高斯图的实现密切相关。本项目旨在通过对于纽结不变量的研究来揭示纽结以及虚纽结的一些性质。 1. 纽结理论和虚纽结理论中最重要的问题之一便是区分纽结。特别的，在虚纽结理论中我们还特别关心什么样的虚纽结是经典的。我们希望通过寻在一些强有力的不变量来探测这一点。同时，这些不变量亦能提供某些关于纽结其他基本性质的信息，诸如交叉数或者手性等。 2. 和经典的纽结理论类似，虚纽结同样有着辩群的表示。我们希望通过这个观点来系统地研究虚纽结。诸如虚辩群的表示，以及通过这种观点得到一些量子不变量等等。 3. 虚纽结作为更一般化的纽结，与经典的纽结有很多自然的联系。我们计划通过对于虚纽结的研究，从虚纽结的观点给出一些经典纽结中的不变量。同时，利用研究虚纽结的方法研究一些经典纽结中的问题。

纽结理论主要研究欧式空间中嵌入的圆环。我们成两个纽结是等价的如果一个可以由另一个通过同痕变化得到。自上世纪八十年代Jones引入Jones多项式以来，纽结理论在现代数学中扮演着重要的角色。特别的，纽结理论与三维流形，四维流形，拓扑量子场论，统计物理均有紧密的联系。此外，纽结理论在化学，生物等其他学科中也有直接的应用。.本项目主要研究对象是一类更加一般的纽结，即虚纽结。简单的说，所谓一个虚纽结，值的是一个加厚的高亏格曲面中嵌入的圆环。我们主要关注虚纽结那些由弦指标推导得到的不变量，这里弦指标是一个由我们先前的工作中得到的概念。.首先我们研究了quandle的上同调理论。所谓一个quandle，指的是一个具有某种类似于群的代数结构的集合。对于一个给定的quandle，我们可以定义一个由该quandle染色得到的纽结染色不变量。2003年，J S Carter等人引入了quandle的上同调群。在本项目中，我们定义了quandle的另外一种同调理论，我们称之为正上同调。关键的地方在于，对于一个给定的正的二维（三维）上闭链，我们可以定义一个加强的纽结（打结曲面）染色不变量。.其次，通过细致考察biquandle的二维上同调群，我们给出了一种更加一般的弦指标的构造方式。我们指出该弦指标可以用来定义虚纽结的有限型不变量。此外，结合该弦指标和Jones多项式以及quandle的染色不变量，我们得到了一类推广的Jones多项式和quandle染色不变量。作为应用，我们给出了这些新的虚纽结不变量在经典纽结理论中的一些应用。