低维拓扑中的一些量子不变量

Since the establishment of Jones polynomial in 1984, a key problem in low-dimensional topology is to understand the geometric/topological meaning of quantum invariants. In this project, we will investigate quandle cocycle invariant, Yang-Baxter homology, Khovanov homology and TQFT derived from Chern-Simons theory. We plan to focus on the following problems:.1.Find the geometrical/topological meaning behind the quandle cocycle invariant and study the relation between quandle homotopy invariant and Dijkgraaf–Witten invariant..2.Try to use Yang-Baxter homology theory to reinterpret Khovanov homology. As an application, we want to obtain a better understanding of the inner structure of Khovanov homology..3.For a general Lie group G, find an explicit expression of cocycle defined by S. Goette and C. K. Zickert. This will lead to a construction of TQFT if we are given a homomorphism from the fundamental group of a 3-manifold to G.

自上世纪八十年代Jones多项式问世以来，低维拓扑中一个核心问题是寻找量子不变量的几何/拓扑含义。在本项目中，我们计划从quandle上同调不变量，Yang-Baxter同调，Khovanov同调以及由Chern-Simons理论诱导的拓扑量子场论这几个不变量的角度来回答这个问题。具体而言，我们主要关心以下几个问题：1.作为一个量子不变量，我们希望寻找到Quandle同调不变量的几何/拓扑含义。特别的，我们希望能更好地理解quandle同伦不变量和Dijkgraaf–Witten不变量之间的联系。2.利用Yang-Baxter同调理论来重新定义Khovanov同调，进而更好地理解Khovanov同调内部的一些结构。3.对于一般的李群G，找到由S. Goette和C. K. Zickert定义的上闭链的显式表达式。对于一个给定的三维流形基本群到G的同态，这将诱导一个拓扑量子场论。

纽结理论主要研究对象是三维球面中嵌入的一维球面在同痕意义下的分类问题。特别的，我们也关心一般三维流形中嵌入的一维球面的分类问题。由于Dehn手术，Kirby计算，辫群等方面的原因，纽结理论与三维流形，四维流形，数学物理等许多其他方向联系紧密，是目前国际数学研究十分活跃的研究领域。.本项目的主要研究对象是纽结不变量，包括从quandle，以及更加一般的Yang-Baxter方程中诱导出来的纽结不变量，以及一般三维流形，尤其是加厚曲面中的纽结的指标型不变量。最后，我们也关心纽结投影图上的一些局部解结操作。.我们的主要结论包括：.1 我们对于一般的加厚曲面中的纽结提出了公理化的弦指标定义。该定义统一处理了过去十来年虚纽结理论中涌现出来的众多指标型不变量。特别的，我们给出了几种具体的弦指标的构造方式，包括利用biquandle构造的非内蕴的弦指标，以及利用交叉点消解得到的内蕴的弦指标。该万有的弦指标等待人们进一步去发掘其功效性质和能力边界。.2 对于染色不变量，我们考虑了拓扑quandle在同构意义下的分类问题。特别的，我们证明了实数轴上存在无穷多个相互不同构的quandle结构。类似于纽结不变量，对于三维流形不变量，取定一个给定的离散群和一个从三维流形到其分类空间的连续映射，我们给出了一个方便快捷的计算该三维流形上同调不变量的方法。对于某些代数纽结，例如排叉结和Montesinos纽结，我们计算了他们的特征标和twisted版本的Alexander多项式。.3 Kauffman bracket skein module是由Jones多项式的Kauffman bracket定义启发诱导的一类三维流形不变量。特别的，当三维流形是加厚曲面时，该不变量有一个自然的代数结构，称为Kauffman bracket skein algebra。计算加厚曲面的KSBM的关键在于其中常见的m×n.格子图的KBSM，为了计算该不变量，Przytycki于2015年引入了rooted tree的plucking多项式。我们深入研究了该多项式，并讨论了其单峰性，实现性和唯一性等组合问题。