非线性扩散反应奇性问题的高效精确自适应有限差分方法研究

Nonlinear diffusion-reaction equations have been playing an important role in a great number of areas of science and engineering, including optimized thermal combustion, environmental protection, chemical interferences, aerospace and aviation engineering and biomedicine,etc. Because singularities of solutions of the equations, or their derivatives, occur in forms of blow-up or quenching in finite time, computations and analysis of the problems have been extremely challenging. Most existing research work focuses primarily on lower dimensional problems. Lower order numerical methods, and limited understanding of the characteristic properties of quenching phenomenon can be found. Very few results on characteristics of beyond quenching phenomenon are obtained. Thus, in this project, we aim at the development of high order compact difference methods on nonuniform computational grids and full adaptations in both space and time for solving the nonlinear diffusion-reaction equations with singular source or convective terms. Then, the new algorithms and rigorous analysis to be implemented will play a leading role for solving the nonlinear diffusion-reaction problems in the literature. Computer simulations of the solutions' asymptotic features and characteristics including initial conditons for occurrence of blow-up or quenching, critical size values, critical time, location sets of occurrence, and the behavior characteristics of beyond quenching. By this project research, theoritical methods and highly efficient and accurate numerical simulation techniques will be provided to numerically solve blow-up or quenching problems and find out the occurring and developing mechanisms of these singular phenomena.

非线性扩散方程在许多科学和工程领域都有广泛的应用，该问题的解或其导数在有限时间内会发生奇性(爆破或quenching)，因而对该问题的研究一直是一个富有挑战性的研究课题。鉴于目前的研究大都还仅针对低维问题、数值方法几乎都采用低精度格式、并且还仅限于讨论quenching现象发生前解的行为特征，而对quenching后的研究很少涉及，本申请项目拟发展求解含奇异源项及对流效应的非线性扩散反应方程非均匀网格上的高精度紧致差分格式及时间和空间完全的网格自适应算法，并对解的渐近行为开展理论分析和数值模拟研究，包括解的爆破或quenching发生的条件、临界尺寸、临界时间、发生的空间位置，以及quenching现象发生后解的行为特征等。本项目的研究成果可为非线性扩散反应奇性问题的解决，特别是对揭示爆破和quenching现象发生的机理及相关工程问题的解决，提供强有力的理论支持和精确高效的数值模拟手段。

非线性扩散反应方程在物理化学和生物工程等领域都有极其重要的应用，如超导体材料的研发、高效燃料应用、生物工程及制造等。由于该模型方程的解在一定条件下存在爆破和quenching现象，即未知函数或其时间导数会在某点处产生非常大的变化，从而导致问题的解或其导数在有限时间内会发生奇性，因而对该问题的研究一直是一个富有挑战性的研究课题。鉴于目前的研究大都还仅针对低维问题、数值方法几乎都采用低精度格式、并且还仅限于讨论quenching现象发生前解的行为特征，而对quenching发生后解的行为特征的研究很少涉及，本申请项目发展了求解含奇异源项及对流效应的非线性扩散反应方程非均匀网格上的高精度紧致差分方法，并在此基础上建立了精确高效的时间和空间网格自适应算法。采用所建立的算法对爆破问题在有限区域和有限时间内解的爆破行为特征进行了直接数值模拟，实现了对爆破发生的初始条件、临界尺寸、爆破时间、爆破的空间点位置的定量描述。此外，采用所建立的算法实现了对有限区域内quenching问题的直接数值模拟，包括给出了quenching发生的临界尺寸、quenching时间、quenching发生的空间位置，quenching与退化函数之间的变化关系，对流效应对quenching解的影响等。通过网格自适应算法，在距离爆破或quenching较远的或者反应比较稳定的区域内少分布计算节点和采用相对较大的时间步长，而在爆破或quenching临近前或者反应开始变的不稳定的区域内多分布计算节点，并且在临近爆破或quenching的时刻自适应地采用小的时间步长，这样既兼顾了算法的稳定性和计算结果的精确性，又节省了计算量。本项目的研究成果为非线性扩散反应方程奇性问题的解决，特别是对揭示爆破和quenching现象发生的机理及相关工程问题的解决，提供了强有力的理论支持和精确高效的数值模拟手段。