谱和谱元方法求解奇异性问题的最优误差估计

In this project, we will be use the spectral and spectral element methods for the solve the one- and two-dimensional elliptic problems with singularities, and analyze the optimal order error convergence of these numerical schemes. In this project, we will propose a new fractional Sobolev-type spaces involving Riemann-Liouville (RL) fractional integrals/derivatives, we then establish approximation results for orthogonal polynomial in new spaces with singularities. The regularity results for linear second-order elliptic boundary value problems with singularities in the new spaces will be obtain. Under this framework, we will be able to estimate the optimal decay rate of spectral and spectral element methods for the one- and two-dimensional linear second-order elliptic problems with singularities.

在本项目中，使用谱和谱元法求解一维和二维带有奇异性的椭圆问题，并分析数值格式的最优误差收敛阶。在本项目中提出新的包含Riemann-Liouville (RL) 分数次积分和导数的分数次 Sobolev 型空间,然后将在新的空间下建立奇异性函数的正交多项式逼近。给出带有奇异性的线性二阶椭圆边界值问题的正则性估计结果。在新的框架下，估计谱和谱元法求解一维和二维带有奇异性的线性二阶椭圆问题的误差的最优收敛阶。

具有奇异性的偏微分方程在工程中有着重要的应用价值，高阶元求解该类型问题，理论误差关于多项式次数收敛阶的最优估计依然没有解决。本课题主要研究谱和谱元方法求解具有奇异性问题的最优误差估计。得到的重要结果：1）自然的构造了新的组合Riemann-Liouville分数阶积分和导数的分数阶型空间，利用新的分数阶空间框架证明了Chebyshev和Legendre正交多项式逼近奇异性函数的最优误差估计；2）给出较弱条件下的分数阶分部积分公式，基于较弱条件下分数阶分部积分公式和整数阶Taylor公式，建立了新的分数阶Taylor公式，以及分数阶 Gegenbauer函数在加权条件下的新的显式上界，证明了新的离散 Gronwall不等式；3）利用分数阶 Gegenbauer 函数的分数阶积分表示、Contour积分和基本不等式等技巧证明了分数阶 Gegenbauer 函数一致渐进表达式，得到分离部分的渐进形式，并给出误差余项的显式一致上界。利用hypergeometric函数的性质分析了分数阶 Gegenbauer 函数的自变量趋于边界奇异性行为，证明了分数阶Gegenbauer 函数满足分数阶Rodrigues公式，以及分数阶Gegenbauer 函数的级数表示和递推关系；4）利用Gamma函数和Psi函数的性质和单调性以及极限理论改进了Gegenbauer多项式的Bernstein 型不等式的上界。这些结果为解决关于误差估计关于多项式次数的最优误差估计问题提供了新的框架和基本逼近理论。