几类具有良好可扩展性的高效并行自适应组合型GAMG法

The efficient parallel solution of large-scale discretized systems originating from partial differential equations (PDEs) has always been a hot research topic and primary bottleneck in computations of science and engineering. Algebraic multigrid (AMG) method, of which GAMG method is a significant branch, is one of the most efficient and widely used iterative methods for these linear systems. Oriented to two classes of important PDEs in practical applications, our project aims at conducting an investigation into adaptive combined GAMG method for the aforementioned PDEs, and building GAMG solvers with good parallel scalability, where lie numerous difficulties, such as spatial and temporal multiscale nature, extremely complicated multi-physical coupling, strongly nonlinear property, strong discontinuity, non-matching grids, grid with large deformations, strong indefiniteness and large scale. Besides an in-depth research on the existing GAMG methods, novel ways and new techniques are needed to dispose of those difficulties, like a deep integration of GAMG with the nonoverlapping DDM. Through the study of our project, the algorithmic and theoretical aspects of AMG, in particular adaptive combined GAMG, will be both enhanced, and the efficient parallel solution of two-dimensional and three-dimensional multi-group radiation diffusion equations and the Helmholtz equation with medium or high wave number based on plane wave method will be commendably driven.

偏微分方程（PDEs）大规模离散化系统的高效并行求解是科学工程计算领域的研究热点和瓶颈问题，代数多重网格（AMG）法是求解该离散系统最有效的迭代法之一，GAMG 法是 AMG 法的重要分支。本项目将重点针对两类具有重要应用背景的 PDEs，研究其大规模离散化系统的自适应组合型 GAMG 法，并研发具有更好并行可扩展性的解法器，其中涉及众多难点，如多时空尺度性、多物理量的复杂耦合性、强非线性、强间断、非匹配网格、大变形网格、强不定性和大规模等，除了需要对现有 GAMG 法深入研究外，还需要探索和发展一些新途径、新方法、新技术，如需要将 AMG 法与非重叠 DDM 等其它方法深度融合。这些研究将对 AMG（特别是自适应组合型 AMG）算法与理论的拓展，以及复杂网格下高维多群辐射扩散问题和基于平面波方法的中、高波数 Helmholtz 方程的高效并行求解起到积极的推动作用。

多群辐射扩散问题与高波数Helmholtz方程是两类具有重要应用背景的PDEs，其大规模离散系统的快速算法研究具有重要理论意义与实用价值。本项目针对二维单多群和三维三温辐射扩散问题的有限体积格式，构造了基于ILU与AMG的自适应组合型GAMG、自适应PCTL、基于简单粗空间的非重叠DD预条件子，建立了条件数估计理论，在JASMIN框架下基于进程分组等策略研制了并行解法器，关于ICF背景的典型数据的测试表明：新解法器比国际上同类解法器更加稳健高效；针对含跳系数二维椭圆问题的Mortar型高次有限元方程，基于变分框架设计了能适合非匹配网格的自适应BDDC预条件子，证明了渐进最优的条件数估计；针对二维中高波数Helmholtz方程的PWLS离散系统，构造了一种特殊的求解Schur补系统的多水平自适应BDDC预条件子，建立了条件数估计理论，数值实验表明：新预条件子能有效降低粗空间维数，且PCG法的迭代次数弱依赖于角频率、子区域个数以及网格尺寸；针对分数阶扩散方程的时空有限元格式，建立了其GAMG法和变时间步长MGRIT法的收敛性理论，数值实验表明新算法具有渐近最优复杂度和更好的加速比；针对经典含时PNP方程的有限元方法，建立了两网格方法的最优H1估计理论；此外还针对Euler网格下多介质辐射扩散问题和含非局部边界条件的抛物问题的有限体和差分格式，给出了最优误差估计和超收敛结果。对电磁驱动HED动力学过程开展了一系列理论和数值模拟研究，提出一个弛豫磁流体力学模型，发展了一种新的动态局域网格重分方法，发现旋转的驱动磁场和弹塑性分别对MRT和RT不稳定性有明显的抑制作用。研究了金属中强磁场的非线性扩散行为，发展了两类峭面磁扩散波理论，基于这种机制对文献中的磁场边条件进行了改进，解决了其中磁驱动飞片模拟速度偏大的问题。MDSC2程序的模拟表明，所设计的热扩散和磁扩散格式具有二阶收敛精度。上述研究成果拓展和丰富了现有并行GAMG算法和BDDC算法及其理论，同时为高维多群辐射扩散方程和基于平面波方法的中高波数Helmholtz方程等问题的高效并行求解起到积极的推动作用。