多复变数几何函数论若干问题的研究和新方法的探索

Function theory in several complex variables is one of main directions in modern mathematics, and geometric function theory is an important part of this field, which aim is to search the relation between geometric property of its image and analytic property of holomorphic mappings. This project deals with some important problems in the geometric function theory of several complex variables. Applying Complex Analysis in Several Variables, Lie Algebra, Differential Geometry and other modern mathematical tools, we will establish the Schwarz lemmas at the boundary on a variety of domains of C^n and seek their applications, and obtain some new rigidity theorems at the boundary for the holomorphic self-mappings of some domains. Moreover, we will study the distortion theorems of starlike mappings on the unit ball or the unit polydisc. And then we will discuss the sharp estimates of all terms in homogeneous expansion for the starlike mappings on the unit polydisc, which is the Bieberbach conjecture of several complex variables. We will, as well, give the sharp estimates of Bloch constant for the convex mappings and starlike mappings on the unit ball, and try to open up a new area of research in the geometric function theory of several complex variables. We aim at the research and exploration of the hot and difficult problems in this field, and expect to make breakthroughs or significant progress. Some new ideas and tools are developed, which we believe have their own interests in other aspects.

多复变函数论是现代数学的主流方向之一，几何函数论是其重要的组成部分，目标是澄清全纯映射像的几何性质与分析性质之间的联系，有着十分丰富的研究内容。本项目以多复变数几何函数论中一些重要问题作为研究对象，拟用多复分析、李代数和微分几何等现代数学工具，建立C^n中各种区域上的边界型Schwarz引理并寻找其应用；获得新的简明易用的全纯自映射的边界型刚性定理；研究单位球、单位多圆柱上星形映射的偏差定理；讨论单位多圆柱上星形映射齐次展开式的各项的精确估计，即多复变数的Bieberbach猜想；给出单位球上凸映射和星形映射的Bloch常数的确切值；尝试开辟多复变数几何函数论的新研究领域。本项目采用的方法新颖，交叉性和应用性强，在已有充分的前期研究工作的基础上,瞄准该领域的热点和难点问题进行攻关和探索，有望获得突破或显著进展以及产生新的研究方法。

多复变函数论是现代数学的主流方向之一，几何函数论是其中的重要组成部分，核心问题是澄清全纯映射像的几何性质与分析性质之间的联系。本项目以多复变数几何函数论中一些重要问题为研究对象，取得的成果主要体现在以下六个方面：一是建立了多复变数全纯映射在强拟凸域、蛋型域、第一类典型域和第二类典型域等区域上的边界型Schwarz引理，开辟了Schwarz引理研究的新领地；二是从一个全新的角度来研究全纯映射的刚性问题，获得了C^n中单位球上全纯映射的边界型刚性定理；三是建立了近于凸映射子族、星形映射、α次殆凸映射、准凸映射子族等某些全纯映射子族的偏差定理，为星形映射偏差定理猜想的解决提供了新的研究工具；四是得到了几类多复变数全纯映射子族齐次展开式各项的精确估计，并研究了多复变数Fekete-Szegö问题，推动了多复变数Bieberbach猜想的研究；五是分别给出了C^n中单位球上局部双全纯Bloch映射和α-Bloch映射子族上的Bloch常数估计；六是研究了全纯Campanato空间的前对偶空间、Carleson测度和Gleason问题，刻画了Campanato空间上Superposition算子、移位算子、Schwarzian导数算子、Cesàro算子的有界性特征。. 四年来，项目组按计划圆满完成各项研究任务，获得了预期的成果；先后在《Math. Ann.》《Trans. Amer. Math. Soc.》《Sci. China Math.》《J. Geom. Anal.》《Proc. Amer. Math. Soc.》《J. Math. Anal. Appl.》《Canad. Math. Bull.》《Math. Nachr.》《Chin. Ann. Math.》等期刊发表论文32篇，其中SCI收录论文25篇、国内一级期刊论文6篇；研究工作引起了学界的高度关注与肯定，成果他引达120余次；获省部级科技二等奖1项、市厅级科技三等奖2项。. 通过本项目的研究，我们着力于研究内容和方法的创新，在多复变数几何函数论领域形成了自身的优势特色，在国内外产生了较为广泛的学术影响力。本项目的成果也进一步丰富了多复变数几何函数论，具有重要的理论意义和学术价值。