关于奇性算子系统与分数阶发展方程Cauchy问题的研究

本项目主要研究结合了奇性增长半群和泛函积分的奇性算子系统及相应分数阶抽象发展方程的Cauchy问题，这里方程线性部分的算子是一个几乎扇形算子，它生成一个奇性增长半群。许多具有强烈应用背景的实际问题的数学模型都是一些分数阶发展方程，如在材料物理中，这类方程很好地刻画了强渗透材料的奇异扩散，因此对分数阶发展方程的研究具有重要的现实意义；另外一方面，在研究抛物型发展方程的时候，通常假设线性部分的算子是一个扇形算子，然而，近年来的一些科学研究发现：一些偏微分算子在一些特殊区域或者在一些正则的空间并不是扇形算子，它们的预解算子在一个扇形内不满足扇形算子定义中指数是-1的估计，而满足指数是-1到0的估计，这样的算子称之为几乎扇形算子，近年来这类算子及相应发展方程的研究引起了国际上一大批数学家的关注。综上，我们选择该项目的研究不仅具有前沿性和重要的理论价值，而且对一些实际问题具有应用前景。

许多具有强烈应用背景的实际问题的数学模型都是一些非线性发展方程或包含（含分数阶非线性发展方程或包含），如在材料物理中，分数阶发展方程很好地刻画了强渗透材料的奇异扩散；发展包含在许多物理现象中有重要的应用背景，如在材料物理中，非线性发展包含被用于刻画具有干摩擦、控制热转移等混合系统的运作机理；从相关文献亦知，较发展方程，发展包含的研究更复杂并且在一些问题的处理上与前者有本质的差异。因此对非线性发展方程或包含（含分数阶非线性发展方程或包含）的研究具有重要的理论价值和现实意义。本项目考虑了几类具有分数阶导数的非线性发展方程Cauchy问题的适定性问题，特别对既具有几乎扇形算子又具有分数阶导数的发展方程Cauchy问题建立了常数变易公式并在此基础上得到了温性解和古典解的存在唯一性；对几类非线性发展包含（含非自治情形）解集的拓扑结构和整体解进行了研究，特别对一类完全非线性的时滞发展包含（主部是非线性多值的无界算子-m-耗散算子），我们在有界区间讨论了 C^0-解的存在性和解集的R_δ-结构，然后借助逆极限方法在无界区间上获得了解集的 R_δ-结构。最后，利用解集的拓扑刻画证明了该发展包含在非局部初始条件下整体解的存在性；对一类分数阶非线性发展方程给出了适当解的定义和整体解的存在性结果；对Banach空间上带有脉冲条件和非局部条件的奇性半线性泛函积分方程，给出了温性解存在性的充分条件；研究了半线性分数阶时滞发展方程的控制问题，在适宜的条件下，讨论了解集的拓扑结构（紧性和R_δ-性质），然后，利用以上拓扑结构的结果证明了在非线性扰动下控制问题可达集的不变性。