若干非线性发展方程的多值扰动及解集的拓扑刻画

The project mainly deals with the qualitative properties of some nonlinear multi-valued evolution equations (i.e., nonlinear abstract evolution inclusions) in abstract spaces. We are concerned with solvability, topological structure of the set of solutions and its applications, etc for such inclusions. Let us point out that nonlinear evolution inclusions are a kind of important partial differential inclusions decribing the processes varying with time, which appear as the natural framework for modeling many important physical processes and phenomena. For instance, such class of inclusions can be used to describe hybrid systems with dry friction, processes of controlled heat transfer, and others. Also, as demonstrated in recent research, the study of evolution inclusions, in contrast to evolution equations, is more complicated and there are essential differences between the two in dealing with some of the problems. Thus our study is of great practical significance and challenging. On the other hand, in the study of evolution equations and inclusions, an important aspect is the topological structure of the set of solutions (contractibility, acyclicity, AR, R_δ-structure). This study is becoming one of the most heated topics at home and abroad and attracted much attention of many mathematicians in the world. At the same time, the characterizations of such structure play key role in discussing the solvability, invariance of reachability sets and periodicity of solutions, etc for deterministic problems. Recently, the study of the topological structure of solution sets for evolution equations and inclusions has been investigated to a large extent. Hopefully, results of our project will be helpful in making the up to date material in this field accessible and meanwhile lay the foundation for future researches.

本项目在抽象空间中研究若干多值非线性发展方程，即非线性发展包含的定性性质，主要关注可解性、解集的拓扑结构及应用等问题。发展包含是用来描述随时间而演变的过程的一些重要的偏微分包含，它在许多物理现象中有重要的应用背景，如在材料物理中，非线性发展包含被用于刻画具有干摩擦、控制热转移等混合系统的运作机理；从相关文献亦知，较发展方程，发展包含的研究更复杂并且在一些问题的处理上与前者有本质的差异。因此，我们研究内容具有重要的现实意义。另一方面，在各种发展方程和包含的研究中，一个重要方面是解集的拓扑结构（非循环性、收缩性、AR、R_δ-结构等），它作为定性理论的一类重要刻画在证明相应问题可达集的不变性、可解性和周期性等方面都起到至关重要的作用.该研究已经成为国内外一个热门课题并引起了国际上一大批数学家的关注。综上，我们选择该项目的研究不仅具有前沿性和重要的理论意义而且对一些实际问题具有应用前景。

非线性多值发展方程是发展型偏微分方程、非线性泛函分析和多值分析的交叉研究领域，它在许多物理现象中有重要的应用背景。解集的拓扑结构如非循环性、收缩性、连通性、AR、R_δ-结构是非线性多值发展方程研究中的核心的和具有挑战性的数学问题，其作为一种重要的定性性质值得我们去研究。它在讨论一些问题全局解的存在性、逼近可控性、平衡解的存在性和周期性等方面也起到至关重要的作用。在这方面我们得到的主要结果是：对非线性多值发展方程，我们分别在主部算子是依赖于t的扇形算子且对应发展族具有紧性、不具有紧性以及主部算子是生成非紧非线性半群的m-耗散算子这三种情形下，讨论了相应解集的非空性和R_δ-结构。在获得解集R_δ-结构的基础上，我们对相应非局部问题的存在性、相应控制问题可达集的不变性等问题进行了研究。当发展族具有紧性时，在非局部函数不满足非扩展性和非线性项不满足不变性的条件下证明了相应非局部Cauchy问题全局解的存在性，也利用R_δ-结构证明了相应控制问题在单值扰动下可达集的不变性。在发展族或非线性半群不具有紧性的条件下，我们在非局部函数满足紧性条件下证明了相应非局部Cauchy问题全局解的存在性。. 在非线性系统动力学性态的研究中，（局部）不变流形作为一种重要几何结构是必不可少的工具，利用它可洞察复杂的动力学、简化高维问题为低维结构的问题进行分析。对此研究是国际上一个重要热点领域。在这方面我们得到的主要结果是：对一类常微-抛物耦合系统，考虑更一般的抽象问题（含对应修正问题），在不假设谱间隙条件的情形，首先证明温性解和古典解的全局适定性，然后证明局部渐近完备有限维不变流形的存在性。在谱间隙条件成立的情形，证明了渐近完备有限维不变流形的存在性。再利用（局部）不变流形揭示主从同步现象和拓扑等价性，并建立原问题和简化问题之间关于全局动力学性态特别是吸引子的存在性、平衡解的渐近稳定性的简化原理。