一类代数逆特征值问题算法的研究与应用

本项目将代数逆特征值问题划归到Banach空间中非线性算子方程的求解问题，利用代数和分析的技巧，研究该类逆特征值问题算法的构造、分析及应用。在重根特征值情形下，首次讨论求解该类逆特征值问题的非精确方法，从而摆脱已有的非精确方法对稀疏条件的依赖；其次，针对已有的数值方法要求求解近似Jacobian方程这一问题，构造和研究避免求解近似Jacobian方程的Ulm类方法，解决由近似Jacobian矩阵坏条件所引起的不稳定问题，并充分分析所构造的方法，建立这些方法的收敛性定理；另外，在稀疏条件下，本项目还将首次研究求解该类逆特征值问题的数值方法的半局部收敛性，进一步深化和完备已有方法的收敛性结果；最后将理论成果应用到数学物理反问题、振动系统、分子光谱等领域中。本项目是属于数值代数、数值泛函分析、应用数学等分支的交叉学科，无论在理论上还是在应用前景上都有重要的研究价值和学术意义。

逆特征值问题在科学计算和工程问题中应用广泛，例如逆Sturm-Liouville问题、动力系统、分子结构、地球物理等问题中均涉及到了逆特征值问题。基于不同应用背景，逆特征值问题的形式往往不是单一的。本课题围绕某类代数逆特征值问题算法的构造、分析及应用展开分析和研究。首先针对已有的求解该类逆特征值问题的数值方法要求求解近似Jacobian 方程这一问题,构造了避免求解近Jacobian方程的Ulm类Cayley变换法, 从而解决了由近似Jacobian 矩阵坏条件所引起的不稳定问题，并充分分析所构造的方法，在给定特征值互异条件下建立了该方法的收敛性定理,并通过具体的数值例子验证了理论结果。其次，在给定特征值互异条件下，本项目建立了求解该类逆特征值问题的牛顿类方法的半局部收敛性，建立了仅依赖于初始点信息的收敛性判据。再次，针对已有的求解该类逆特征值问题的数值方法对互异特征值这一条件的依赖问题, 本项目还提出和研究了若干用于求解带重特征值的逆特征值问题的数值方法，并给出相应的收敛性分析。然后，作为该逆特征值问题的一个延拓，本项目还研究了相应的逆奇异值问题的数值求解与扰动性问题。最后，同时根据国内外研究动态和本项目研究的需要, 加强了关于一般非线性算子方程的数值求解及不动点理论等问题的研究。. 在研究的同时,我们加强了同国内外同行专家的学术交流,我们项目研究期间访问了澳门大学的金小庆教授、台湾中山大学的姚任之教授等，同时也邀请了浙江大学的李冲教授、厦门大学的白正简教授及台湾中山大学的姚任之教授等。本项目的研究取得了多个研究成果，完成了多篇学术论文，其中7篇已被录用或发表在SCI杂志上，另外还有多篇文章已完成并已投稿。