特征值问题的代数多重网格算法

In modern science and technology, there have appeared more and more eigenalue problems which leads to the requirement for the highly efficient eigenvalue solvers becomes much more than before. This project is concerned with the algebraic multigrid method for the large scale symmetric and nonsymmetric eigenvalue problems. We will concentrate on the designing algebraic multigrid method, mesh coarsening strategy and parallel implementation for the eigenvalue problems. The final aim is to build the numerical theory and the corresponding software for the eigenvalue problems by the algebraic multigrid method.

随着科学技术的方法, 越来越多的问题最后归结为特征值问题的求解, 对大规模特征值问题高效数值算法的需求越来越大. 本项目研究大规模特征值问题的代数多重网格算法及其相应的数学理论. 主要关注如何设计对称和非对称特征值问题的代数多重网格算法、网格粗化策略和并行化实现方法, 给出符合特征值求解的代数多重网格算法的理论分析和软件包实现.

众所周知，在科学研究与工程实际中存在着大量的特征值问题，它是一个基本而又有特色的问题，大量出现于量子力学、复杂结构共振模态分析、材料科学中。相对于边值问题的求解，特征值问题和非线性方程的求解更加复杂和困难，内存开销往往也更大，研究特征值问题的高效算法及其理论具有重要的理论和实际意义。.本项目研究求解特征值问题的稳定、高效、高可扩展性的数值算法，关注特征值问题高效数值算法的设计、分析和应用，同时建立相应的计算软件包。主要设计了求解特征值问题的扩展子空间算法、多水平校正算法以及它们与多重网格算法、自适应算法等的结合，获得了求解特征值问题稳定、高效、高可扩展性的数值算法，同时也建立了相应的公开计算软件包。.基于对有限元中Aubin-Nitsche技巧的新认识，我们构造了求解特征值问题的扩展子空间算法和多水平校正算法，并且给出了相应的理论分析。利用定义在粗网格上的有限元空间，我们构造了一个特殊的低维子空间，它可以把细网格上高维的特征值问题的求解转换成细网格上线性边值问题的求解和所构造的低维子空间上特征值问题的求解。由于避免了在细网格上直接求解高维的特征值问题，扩展子空间算法和多水平校正算法可以显著提高求解效率。特别地，当求解多项式形式的非线性特征值问题时，我们设计的扩展子空间算法的渐近计算量可以达到绝对渐近最优且与非线性迭代次数无关，这是求解非线性问题所能达到的最优程度。.已使用扩展子空间算法和多水平校正算法设计了求解线性特征值问题、Bose-Einstein凝聚的基态问题、电子结构中的Kohn-Sham方程、反散射特征值问题和多尺度特征值问题等的多水平或多重网格算法。我们设计的算法已被一些研究者如杨一都教授、席英霞-季霞-张硕等用来构造求解其它特征值问题的多重网格算法。同时多水平校正算法也被加州理工大学Houman Owhadi教授小组关注且共同合作用来求解多尺度特征值问题。