高维自由边界问题及其在肿瘤模型中的应用

In this project we study several classical free boundary problems, which are used to describe some newly discovered tumor models. The new feature is that every problem consists of nonlinear parabolic equation, nonlinear hyperbolic equation and evolutionary equation for the free boundary, with more extensive biological background and greater difficulty of theoretical analysis. We will make rigorous analysis for global existence and blow-up phenomenon of transient solutions, asymptotic behavior of transient solutions，existence and bifurcation of stationary solutions, spacial and geometric features of the free boundary. It is a new topic, and also a meaningful topic in mathematical theory and biological applications. We study this topic by employing some new methods and new ideas, combining with the spectral theory of differential operators, the maximal regularity theory and the theory for differential equations in Banach spaces. This analysis is very instrumental in revealing the mechanism of tumor evolution from different aspects, and provides mathematical tools and theoretical bases for the corresponding applied subjects. Innovations in the mathematical theory and method are also expected through these studies.

本项目旨在研究几类典型的高维自由边界问题，分别用来描述几类新近发现的肿瘤模型，其显著特点是问题均由非线性抛物方程、非线性双曲型方程和自由边界的演化方程耦合而成，有很强的生物背景和较大的理论分析难度。我们将系统地研究这几类问题的时变解的全局存在性、爆破性质和渐近性态，稳态解的存在性和分歧，自由边界的空间特征与几何特征等一些数学和生物学上比较关心的问题。这是一个新的研究课题，也是在数学理论和生物学应用两方面都有重要研究价值的课题。我们将应用自由边界问题研究的一些新思想和新方法，结合应用微分算子的谱理论、最优正则性理论和Banach空间上的微分方程理论等来研究。这些研究有助于我们从不同的角度来认识和理解肿瘤的演化机制，为相关应用学科提供数学工具和数学理论基础，并通过这些具体问题的研究，使我们在研究所需的数学理论和方法上有所创新和突破。

该项目研究了几类高维肿瘤生长的自由边界问题，包括Gibbs-Thomson作用下的非严格扁平状multi-layer肿瘤模型和Gibbs-Thomson作用下的非严格球状肿瘤模型。我们应用了自由边界问题研究的一些新思想和新方法，结合应用微分算子的谱理论、最优正则性理论和Banach空间上的微分方程理论等来研究。根据预定的研究方案和研究路线开展了研究，给出了其严格数学理论分析，重点讨论了时变解的渐近性态和稳态解的存在性，并给出了相应的生物学解释。这些研究有助于我们从不同的角度来认识和理解肿瘤的演化机制，为相关应用学科提供数学工具和数学理论基础。到目前为止，已经有6篇资助论文已正式发表，其中SCI期刊5篇，另有多次学术会议报告。