基于Darboux-Bäcklund变换的离散可积系统研究

The project is to explore the intrinsic relationship among continuous, semi-discrete and fully-discrete integrable systems with the aid of the Darboux-Bäcklund transformations (DBTs) of continuous ones. The aim is to construct novel discrete system integrable both differential-difference equations and integrable difference equations, investigate integrable properties and algebra-geometric solutions of the resulting discrete integrable systems. Especially we will focus on the following topics: 1) constructing novel integrable discrete systems from (1+1) dimensional continuous soliton equations via DBTs, and establishing relationship among continuous and discrete integrable systems; 2) synchronously constructing algebra-geometric solutions for the related continuous and discrete integrable systems on the platform of finite-dimensional Liouville integrable Hamiltonian systems; 3) Darboux transformations of supersymmetric integrable systems and discrete integrable systems on Grassmann algebras; 4) Darboux transformations for the soliton equations which have complex symmetries; 5) how many DBTs for a given integrable system are allowed; and 6) the applications of DBTs to integrable discrete geometry. The study will enrich the mathematic theory of integrable systems and deepen the understandings to various integrable systems.

本项目基于(1+1)维连续孤子方程的Darboux-Bäcklund变换（DBT），探讨连续和离散可积系统之间的内在结构，构造新的DBT和可积离散系统，研究离散可积系统的可积性质和求解，以及DBT在可积离散几何中的应用。具体研究内容包括：1)从(1+1)维连续孤立子方程的DBT变换出发，构造新的离散可积系统，建立连续和离散可积系统可积性质之间的对应关系；2）在公共的有限维可积Hamilton系统平台上，统一构造连续和离散可积系统的代数几何解；3）构造超（对称）可积系统的Darboux变换和新的Grassmann离散可积系统；4）构造具有复杂对称性可积系统的Darboux变换；5）探索给定孤立子方程最大允许的DBT问题;以及6) DBT在可积离散几何中的应用。研究成果将进一步发展和丰富可积系统的数学理论，深化对可积系统的理解。

Darboux-Bäcklund变换是(1+1)维连续孤子方程的一个从已知解构造新解的有效方法。如果赋予从已知解到新解的过程一个离散变量，那么Darboux变换可解释为离散谱问题, 而Bäcklund变换可解释为具有一个连续变量和一个离散变量的半离散可积系统。本项目主要研究Darboux-Bäcklund变换相关的离散可积系统，主要研究成果有：.一、提出Darboux变换的非线性化生成可积辛映射的新方法。.约束流是指（1+1）维连续可积系统的谱问题经非线性化得到的有限维可积Hamilton系统。为实现（1+1）维连续可积系统的Darboux变换的非线性化，我们提出假设： Darboux变换经非线性化得到的映射就是相应约束流的Bäcklund变换。由此导出Darboux矩阵中的位势和特征函数之间的约束, 完成Darboux变换的非线性化，生成可积辛映射。我们从Kaup-Newell方程族的四个Darboux变换出发，运用此方法获得了四个可积辛映射，证明了这四个可积辛映射具有相同不变量。.二、提出基于置换矩阵构造多分量半离散可积系统的方法。半离散可积系统也称为格系统。我们发现差分移位算子允许一个置换矩阵相关的内自同构，由此提出了一个从（1+1）维纯量半离散可积格系统构造多分量格系统的一般方法，证明了导出的多分量各系统具有零曲率表示和双Hamilton结构。我们提出来多分量Toda格、多分量Volterra格、多分量CTL-RTL格等一大批新的多分量可积格系统。 .三、建立了耦合非线性薛定谔方程的等时和等空Poisson括号。通过変分原理，我们构建了耦合非线性薛定谔方程的一个仅依赖于时间变量的等空Poisson括号，证明了线性谱问题的空间谱矩阵关于等时Poisson括号以及时间谱矩阵关于等空Poisson括号满足相同的r-矩阵公式。因此，耦合非线性薛定谔方程的时间变量和空间变量具有同等的地位，可理解为场论中的方程。.四、构造了新的连续可积系统。我们引进了（1+1）维连续可积系统的一个新的可积缺陷，该缺陷由定义在x=c(t)曲线上的Bäcklund变换构成。我们证明该缺陷保持原有系统的可积性，且该可积缺陷系统有孤立子解和尖峰孤立子解。此外，含任意函数的矩阵Camassa-Holm方程被提出。.研究工作进一步沟通了各类可积系统之间内在联系，加深了可积系统的理解。..二、提出基