超对称可积系统的Bäcklund-Darboux变换及其应用

As an integrated part of the theory of integrable systems,the theory of supersymmetric integrable systems has been greatly developed.The present project aims to construct Bäcklund-Darboux transformations of some supersymmetric integrable systems and consider the applications of Bäcklund-Darboux transformations in the supersymmetric context..Similar to the situation in classical integrable systems,Bäcklund-Darboux transformations are also the important research content of supersymmetric integrable systems.In addition to N=1 supersymmetric systems,the project is meant to construct Bäcklund-Darboux transformations of the N≥2 supersymmetric systems and (2+1)-dimension supersymmetric systems..Furthermore, this project focuses on the applications of Bäcklund-Darboux transformations in the supersymmetric integrable systems.The contents include constructing the supersoliton solutions,obtaining the new supersymmetric semi-discrete and full-discrete systems,constructing the new supersymmetric yang-baxter maps and studying their properties..This research can enrich the theory of supersymmetric integrable systems and promote its development.

作为可积系统理论的一个重要组成部分，超对称可积系统的理论与方法都得到了较大的发展。本项目旨在构造某些超对称可积系统的Darboux变换和Bäcklund变换，以及研究和它们的应用相关的一些问题。. 和经典可积系统中的情况一样，Bäcklund-Darboux变换也是超对称可积系统研究的重要内容。构造超对称可积系统的Bäcklund-Darboux变换，特别是将它们推广到N≥2的超对称系统以及(2+1)-维超对称系统是本项目的一个重要目标。. 另外，本项目着重研究Bäcklund-Darboux变换在超对称可积系统中的应用。内容包括构造超对称可积系统的超孤子解，获得新的超对称半离散、全离散可积系统，构造新的超对称Yang-Baxter映射并探讨其性质。. 通过本项目的研究可以丰富超对称可积系统的理论，对其发展有一定的促进作用。

Camassa-Holm(CH)型方程是近年来可积系统理论的一个研究热点。与经典可积系统中的情形类似，Bäcklund-Darboux变换也是CH型方程的重要研究对象。构造CH型方程的Bäcklund-Darboux变换，再将Bäcklund-Darboux变换的理论推广到多分量CH型方程以及(2+1)-维CH型方程，这对CH型方程的研究能起到一定促进作用，并能丰富可积系统的研究理论。在本项目的研究过程中，我们将Bäcklund-Darboux变换方法应用到Camassa-Holm(CH)型方程中，我们构造了修正CH方程、DP方程、Novikov方程，复散焦短脉冲方程等一系列重要的CH型方程的Bäcklund-Darboux变换，并研究了它们的应用。特别的，我们构造了短脉冲方程的Bäcklund变换。我们还得到了2,3,4直到N步的Bäcklund变换的行列式形式，并对该公式给出了一般的证明，这是关于CH型方程Bäcklund变换的一个极其漂亮结果。我们还将CH型方程的Darboux变换理论推广到(2+1)-维Camassa-Holm方程上。利用Darboux变换，我们构造了该方程的N孤子解。此外，我们还构造了两分量的短脉冲方程的Bäcklund变换，通过约化两分量短脉冲方程的Bäcklund变换和非线性叠加公式，分别得到短脉冲方程、聚焦复短脉冲方程和散焦复短脉冲方程的Bäcklund变换和非线性叠加公式。通过分析解中参数的取值范围，我们得到了各种孤子解，并考虑了它们之间的相互作用。