非线性分析在张量特征值与图论中的应用

It is well known that nonlinear anlysis methods have been applied extensively in the study of differential equations. The purpose of this project is to apply nonlinear analsis methods to the eigenvalue problem for tensors and the graph theory. The applicant and his coauthors have applied nonlinear analysis methods to extend the Perron -Frobenius theorm in linear algebra to high order non negative tensors. They applied the minimax priciple in the critical point theory to study the number of real eigenvectors for symmetric high order tensors. They also developed the $Z_2\times Z_2$ index theory to study the number of real singular values for high order tensors, and conversely, the new index theory, is provided as a new tool in the study the semi-nontrivial solutions of nonlinear partial elliptic systems. These results have been published in these years. Recently, the applicant found a new approach applying the critical point theory for non smooth functions on non smooth manifolds to the spectral theory of graphs. He intends to study the spcetral theory for the 1-Laplacian on graphs. The idea is original.Hopfully, one can establish a whole new theory and a completely different algorithm, which are paprallel to the existent spectral theory of graphs, as a complement and a development of the spectral graph theory. It would provide more details in characterizing graphs.

非线性分析方法在微分方程中的应用 已广为人知， 本项目意在发展并应用非线性分析方法于高阶张量特征值以及图论。 本人与合作者曾成功地应用非线性分析方法全面推广了线性代数中的Perron-Frobenius 定理于高阶非负张量，应用变分理论中的极小极大定理研究了对称张量实特征值的个数， 发展了Z_2 x Z_2 的指标理论研究了张量实奇异值的个数等问题。这些发展反过来又被应用于研究非线性偏微分方程组的非半平凡解的个数。这些工作都已发表， 见参考文献。 近来申请者更找到一条由非光滑流形上非光滑函数的临界点理论通向图论的途径， 准备在这个方向上发展图上的"1-拉普拉斯算子"的谱理论。这个想法是全新的. 预计能建立起一套与现有图谱理论并行的非线性图谱理论和算法。这个理论会与现有的图谱理论相互补充， 对图给出更详细的刻画。

本项目的研究工作主要以非线性分析，特别是变分方法和临界点理论， 如非光滑泛函的变分理论，凸泛函，Lipschitz泛函的临界点理论为工具，研究张量特征值和图上1-Laplace 算子的谱理论以及在图论中的应用，非线性版本的Krein-Rutman定理，图像处理中Rudin-Osher-Fatemi (ROF)泛函极小问题解的性质研究，曲线流问题自相似解的存在性，凸几何中L_p Minkowski 问题等。..本项目发展了一个非线性Perron-Frobenius定理和Krein-Rutman 定理，在张量分析，特别是张量特征值和奇异值的极小极大刻画，把1-Laplace算子引入图论中一些重要问题的研究方面，系统发展图上1-Laplace算子谱理论，以及图上1-Laplace 算子特征值刻画与多重性，特征向量的变号区域问题与图上Cheeger常数，图的Cheeger 分割， 极大分割的联系， 图上Cheeger 分割的一些新理论和计算方法等问题的研究等方面取得了很有学术价值的重要研究成果。..本项目在利用凸泛函，Lipschitz泛函的临界点理论研究有界变差函数空间中的变分问题，如图像处理中各种ROF 型泛函的极小问题，1-Lapalce 方程，特别是1-Laplace 算子特征函数，特征值与ROF 泛函的极小之间的关系，泛函极小的解析表达式，极小解的几何与分析性质等方面，凸几何中2维一般测度情形L_p Minkowski 问题及连续情形其对偶问题的可解性，圆周上具有共形不变性质的微分方程解的存在性方面取得了很有学术价值的研究成果。