极值与代数图论中的特征值问题的研究

Spectral Graph Theory is an important branch in combinatorics, it is a new research area that includes combinatorics, graph theory, linear algebra, group theory and their mutual interpenetration. It also turns out to have extensive and important applications in quantum chemistry, theoretical computer science, theoretical physics, information science as well as complex networks. This project aims to study several problems related to spectral graph theory: One is the spectral problems related to many famous theorems and conjectures in Extremal Graph Theory (most of them using Szemeredi's Regularity Lemma) .The other is the (small /distinct) number of eigenvalues, the inertia and signature of graphs (especially Cayley graphs) over various algebraic structures, finite groups and related problems...The aim of this project is to further establish the inner and essential correlation between extremal , structural and algebraic graph theory. We hope this project could impulse the development of Spectral Graph Theory and its related algebraic theory, extend their applications in many other disciplines.

图谱理论是组合数学的一个重要分支，它以组合数学、图论与线性代数、群论等学科相互交叉相互渗透而形成的一个新的学科领域。它在量子化学、理论计算机科学、理论物理、信息科学以及复杂网络中有着广泛而重要的应用。本项目旨在研究与图谱理论相关的几个重要问题：一方面是与极值图论中许多著名结论或猜想 (其中大多用到Szemeredi正则引理)密切联系的的谱极值问题; 另一方面是与各种代数结构特别是群结构相关的图(如Cayley图)的特征值数目，惯性指数与符号差等相关问题。..本项目的目标是进一步建立极值图论、结构图论与代数图论之间的内在联系和本质关系。希望通过本项目的研究可以推动图谱理论和代数相关理论的发展，进一步拓广它们在其他学科的应用。

图谱理论在数学中的地位日趋上升，它以组合数学、图论与线性代数、群论等学科相互交叉相互渗透而形成的一个新的学科领域。它在量子化学、理论计算机科学、理论物理、信息科学以及复杂网络中有着广泛而重要的应用。本项目中我们重点研究了下面几个问题： 群与图的特征值的关系问题， 包括整谱 Cayley 图、 同谱Cayley图及奇异Cayley图等问题；图的结构与图的特征值关系问题；一些（组合）矩阵的性质的研究。 四年来，我们对以上内容进行了深入的研究，并且取得了一批满意的研究成果。