复系数时滞系统的动力学与控制研究

Delay differential equations with complex coefficients (complex-DDEs) serve as basic and important mathematical models in laser systems, biological systems and rotor systems. They also play important roles in numerical analysis and bifurcation analysis in nonlinear systems with time delay. Therefore, carrying out research work on this type of systems has important theoretical value and wide applications.. This project mainly includes the following three aspects: (1) To present a method for analyzing the stability of complex-DDEs directly on the basis of stability switch. (2) The amplitude-frequency equation of a nonlinear oscillator with delay feedback is always a delay differential equation with delay-dependent coefficients. A Hopf bifurcation analysis and complex dynamic analysis of this type of systems will be given without approximating the time delay system as an ordinary differential equation. (3) To determine the control parameters when a system with real coefficients is transformed into complex-DDEs by using Sename decoupling control method. Further to give the method for the robust control of the unstable systems with uncertain parameters. . The achivements of this project offer some theoretical guidanc for engineering practice. In addition, this project has important academic significance since there are many differences in methods and dynamic properties between real and complex-DDEs.

复系数时滞微分方程在光电系统、生物系统、转子系统及非线性时滞系统的数值分析和分岔分析中是基本而重要的数学模型。对这类系统的研究具有重要的实际意义和应用价值。.本项目针对这类系统作如下三个方面的研究：(1)建立可以直接分析系数和时滞相关的复系数时滞系统的稳定性切换方法。(2)针对研究非线性时滞系统时得到的系数和时滞相关的复系数振幅方程，在不对时滞项作近似处理的前提下研究它的分岔和复杂动力学现象。(3) Sename解耦控制有时会将实系数系统解耦为复系数时滞系统，针对这种情形给出控制参数的确定方法，并进一步给出当原系统含有不确定参数时的鲁棒控制方法。.本项目的研究成果可为工程实践提供理论指导，同时由于复系数时滞系统与实系数时滞系统在研究方法和动力学特性方面存在诸多差异，本项目的开展还具有重要的学术意义。

含有复系数的时滞微分方程在生物、物理以及非线性系统的动力学分析中都有着广泛的应用，尤其在转子系统、光学系统中复时滞微分方程是基本而重要的数学模型。利用复时滞微分方程建模的优点之一是它能够从形式上简化数学模型；其次，如果采用的方法恰当， 还可以减少动力学分析中的计算。遗憾的是现有的动力学研究方法大都只适用于实系数的时滞微分方程，只有极少数的研究方法可以直接用于复时滞系统。因此，通过坐标变换将复时滞系统转化为相应的实时滞系统的做法在复时滞系统的研究中常常被采用，显然这种做法不能使复时滞微分方程建模的优势得到很好的体现。. 针对这种状况，本项目一方面改进和推广现有的方法，使改进和推广后的方法可以直接用于复时滞微分方程，包括改进了Lee与Hsu提出的稳定性切换原理使其可以直接应用到复时滞微分方程；改进了原来只适用于实时滞系统的Hassard稳定性判据，改进后的Hassard稳定性判据不但可以直接分析复时滞系统的稳定性，还可以分析中立型时滞系统的稳定性。 . 另一方面，针对具体的问题和一些特殊的系统，提出新的方法用于复时滞微分方程的研究。如分析了具有负阻尼和不确定参数的单自由度振子的鲁棒稳定性。通过施加具有解耦作用的时滞反馈，将二阶时滞系统的鲁棒稳定性问题转化成了一阶复时滞系统的鲁棒稳定性问题。依据新的鲁棒稳定性判据，反馈增益和时滞可以很容易的被确定。此外，我们在时滞加速度反馈和非线性光学系统方面也取得了一些成果。. 本项目的成果可以直接应用到复时滞系统的研究中。与以往的方法相比，我们提出的方法更具有一般性，并且由于在应用过程中避免了复化实，因此大大节省了运算量。